Question

Desafio: Determine, no conjunto dos números reais, a solução de (2x²-1/2)¹³*(x+7)²⁰/(25-x²)³⁹ ≥ 0

Answer 1

$\dfrac{(2x^2-\frac{1}{2})^{13}\cdot(x+7)^{20}}{(25-x^2)^{30}}\geq 0\\ \\ \\ \text{Solo se quiere el signo de la fracci\'on polin\'omica:}\\ \\ \\ \dfrac{(2x^2-\frac{1}{2})}{(25-x^2)^{30}}\geq 0\vee x=-7\\ \\ \\ 2x^2-\frac{1}{2}\geq 0\vee x=-7\wedge x\notin\{-5,5\}\\ \\ \\ \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\geq 0\vee x=-7\wedge x\notin\{-5,5\}$


$x\in(-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty)\vee x=-7\wedge x\notin\{-5,5\}\\ \\ \\ \boxed{~x\in(-\infty,-5)\cup(-5,\frac{1}{2}]\cup [\frac{1}{2},5)\cup(5,+\infty)~}$

Answer 2

Resposta:

$\mathsf{\dfrac{(2x^2 - \frac{1}{2})^{13} \times (x + 7)^{20}}{(25 - x^2)^{30}} \geq 0}$

Veja que (x + 7)^20 e (25 - x^2) são positivos sempre para todo x, então podemos desconsiderar isso.

Ainda assim devemos considerar o caso de x = -7-

Alem disso (2x^2 - 1/2) tem o mesmo sinal que (2x^2 - 1/2)^13

$\mathsf{(2x^2 - \frac{1}{2})\geq 0 \Rightarrow x^2 \geq \frac{1}{4} \Rightarrow x \geq \frac{1}{2} \ ou \ x \leq -\frac{1}{2}}$

Logo:

$\mathsf{x \geq \frac{1}{2} \ ou \ x \leq -\frac{1}{2} \ ou \ x = -7}$