Question

[DESAFIO] Dados três números consecutivos a, b e c mostre que o produto deles é múltiplo de 6.

Answer 1

Para provarmos que o produto de três números consecutivos é sempre múltiplo de 6, devemos utilizar a Teoria dos números e provar que ele deve ser múltiplo de 2 (deve ser par) e múltiplo de 3 ao mesmo tempo. Daí,

Sejam a, b e c iguais a:

a = k -1

b = k

c = k + 1

Agora, vamos ao produto destes:

$(k - 1)(k)(k + 1) =$

$( {k}^{2} - 1) \: . \: k =$

${k}^{3} - k =$

A partir daqui o problema será dividido em casos:

1. Caso k seja um número par. Isto é,

$k = 2n$

Logo,

$8 {n}^{3} - 2n =$

$2n(4 {n}^{2} - 1) =$

O valor dessa última expressão é um número par, pois existe o fator 2. Veremos se ela também e múltipla de 3. Visto que, se um número é múltiplo de 2 e de 3 simultaneamente, ele é - consequentemente - múltiplo de 6.

Observe o fator:

$4 {n}^{2} - 1$

Trata-se de um quadrado perfeito vezes 4, logo ele é um múltiplo de 4 subtraído uma unidade, ou seja, deixa resto 3 na divisão por 4. Isso obrigado-o a ser divisível por 3. Portanto,

$2n(4 {n}^{2} - 1)$

É divisível por 6.

2. Caso k seja ímpar. Isto é,

$k = 2n + 1$

Logo,

${(2n + 1)}^{3} - (2n + 1) =$

$8 {n}^{3} + 3.(4 {n}^{2} ) + 3.(2n) + 1 - 2n - 1 =$

$8 {n}^{3} + 12 {n}^{2} + 4n =$

$4n(2 {n}^{2} + 3n + 1) =$

Sabemos que esse número é par, pois possui o fator 4. Precisamos, então, provar que o segundo fato é múltiplo de 3. Note que o fator

$(2 {n}^{2} + 3n + 1)$

Possui o dobro de um quadrado mais 1 e mais um múltiplo de 3. O múltiplo de 3 nunca deixará resto na divisão por 3. Então devemos olhar agora para o resto que

$2 {n}^{2} + 1$

Deixa na divisão por 3. observe que todos os quadrados perfeitos deixa resto 1 ou resto 0 na divisão por 3.

Prova:

Seja M3 a representação de um múltiplo de 3 qualquer. Todos os números que não são múltiplos de 3, ou deixam resto 1 ou deixam resto 2. Pensando nisso, podemos escrever qualquer número como sendo: m3 ou m3 + 1 ou m3 + 2. Vamos analisar os quadrados destes números.

${(m3)}^{2} = m3$

Deixa resto 0.

${(m3 + 1)}^{2} = {m3}^{2} + 2.m3 + 1$

Deixa resto 1.

${(m3 + 2)}^{2} = {m3}^{2} + 4.m3 + (3 + 1)$

Deixa resto 1.

Aqueles que deixam resto 0 não precisam ser avaliados, pois o primeiro fator (4n) já fará o número ser múltiplo de 6, tendo em vista que faremos 4 vezes um múltiplo de 3.

Agora vamos aos que deixam resto 1. Quando multiplicados por 2, o resto passar a ser 2 x 1 = 2.

Prova:

$(m3 + 1).2 = 2.m3 + 2$

Deixa resto 2.

Se um número qualquer deixa resto 2, quando somarmos a unidade a este mesmo número, obteremos um múltiplo de 3.

Prova:

$(m3 + 2) + 1 = m3 + 3 = m3$

Isso prova que o segundo fator:

$2 {n}^{2} + 3n + 1$

É sempre múltiplo de 3. Daí, concluímos que o produto de 3 números consecutivos é sempre múltiplo de 6.

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*****Outra forma de fazer:*****

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Três números consecutivos sempre envolve um número par e um número múltiplo de 3.

Prova:

Sendo todos os números seguidos em ordem crescente distribuídos da seguinte forma:

0, 1, 2, 3... n - 1, n, n + 1...

Par, ímpar, par, ímpar...

Isso implica que qualquer que seja a trinca de números escolhidos, sempre haverá - pelo menos - um número par.

Tendo em vista que os restos na divisão por 3 são sempre: 0, 1 e 2.

Isso implica que, em toda e qualquer trinca de números consecutivos escolhidos sempre haverá um único múltiplo de 3.

Exemplos: 1, 2 e 3 / 2, 3 e 4 / 10, 11 e 12...

Portanto, em todas as trincas de números consecutivos sempre haverá o produto entre um número par e um múltiplo de 3. Logo, todas elas serão múltiplas de 6.

Saiba mais em:

O que é a teoria dos numeros? https://brainly.com.br/tarefa/20790854

Answer 2

De início, precisamos relembrar que, dentre três inteiros consecutivos quaisquer, representados por

$\begin{cases}\sf{a=k-1}\\ \sf{b=k}\\ \sf{c=k+1}\end{cases}$

, no mínimo um e no máximo dois deles são números pares. Consequentemente, "provamos" que o produto P desses três números é sempre múltiplo de 2 (dois). Assim, para provar que o referido produto é divisível por 6 (seis), basta comprovar que este é divisível por 3 (três), ao passo que já atestamos sua paridade. Dessa forma, faremos uso de uma definição da Teoria dos Números, que é a de Congruência Modular, também chamada Congruência Módulo m. Tal definição diz que um inteiro x é congruente (ou côngruo) a um inteiro y módulo m (m natural positivo) se, e só se, a diferença x – y for um múltiplo de m. Matematicamente, isso é expresso por:

$\sf{x\equiv y\ \,(mod\ m)\ \ \iff\ \ x-y=mq\quad \big(q\,\in\,\mathbb{Z}\big)$

Por conseguinte, se x é côngruo a y módulo m e t é um inteiro arbitrário, podemos escrever:

$\sf{x+t \equiv y+t\ \,(mod\ m)}$

Agora, lembremos também de um corolário do Teorema de Euler, que é o famoso Pequeno Teorema de Fermat. A versão mais genérica deste teorema nos garante o seguinte resultado:

$\sf{k^p\equiv k\ \,(mod\ p)\qquad(i)}$

, para qualquer k inteiro e p primo. Por último, fazendo p = 3 em (i), obteremos:

$\sf{\qquad\quad \ \,\, k^3\equiv k\ \, (mod\ 3)}\\\\ \sf{\iff\ \ \ k^3+(-k)\equiv k+(-k)\ \,(mod\ 3)}\\\\ \sf{\iff\ \ \ k^3-k\equiv 0\ \,(mod\ 3)}\\\\ \sf{\iff\ \ \ k\cdot \big(k^2-1\big)\equiv 0\ \,(mod\ 3)}\\\\ \sf{\iff\ \ \ k\cdot \big(k^2-1^2\big)\equiv 0\ \,(mod\ 3)}\\\\ \sf{\iff\ \ \ k\cdot \big(k+1\big)\cdot \big(k-1\big)\equiv 0\ \,(mod\ 3)}\\\\ \sf{\quad\ \,\therefore\ \ \ \underbrace{\sf \big(k-1\big)\cdot k\cdot \big(k+1\big)}_{P}\equiv 0\ \,(mod\ 3)}$

, como queríamos provar.

Obs.: o produto de quaisquer n ≥ 2 inteiros consecutivos é sempre um múltiplo de n! (fatorial de n). Para mais esclarecimentos acerca disso, sugiro que dê uma olhada no link: https://brainly.com.br/tarefa/29804759.