Question

(DESAFIO) Calcule o valor soma S = 2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 + ... + 99*100

Answer 1

A ideia é perceber que estamos somando termos da forma $k(k+1)=k^{2}+k$, que é um polinômio do segundo grau. Assim, estamos somando termos de uma PA de ordem superior, cuja soma é um polinômio do terceiro grau sem termo independente.

Veja então que $S_{n} =a*n^{3}+b*n^{2}+cn$. Daí, fazendo n = 1,2 e 3 obtemos o seguinte sistema:

$a+b+c=2(*)$

$8a+4b+2c=8(**)$

$27a+9b+3c=20(***)$

Veja então que fazendo (**) - 2(*) obtemos 6a + 2b = 4 e fazendo (***) - 3(*) obtemos 24a + 6b = 14 o que nos dá $a=\frac{1}{3},b=1,c=\frac{2}{3}$

Por fim, temos que $S_{n}=\frac{1}{3}n^{3}+n^{2}+\frac{2}{3}n$ que implica em $S_{99}=\frac{1}{3}*99^{3}+99^{2}+\frac{2}{3}*99= 333.300$

Resposta: O valor da soma pedida é 333.300

Answer 2

Resposta:

0+(0+2=2) +(2+4=6)  +  (2+4+6=12) + (2+4+6+8=20)  + (2+4+6+8+10=30)

Cada termo é a soma de n termos de uma PA  , onde a1=0 e a razão =2

S1+S2+S3+S4+....+S100

Sn=(0+an)*n/2=[0+(n-1)*2]n/2= n²-n

1²+2²+3²+4²+...+100² - [1+2+3+4+......+100]

####################################

n³-(n-1)³ =n³ -(n³-3n²+3n-1)

n³-(n-1)³ =3n²-3n+1

para n=1 ==> 1³-0³=3*1²-3*1+1

para n=2 ==> 2³-1³=3*2²-3*2+1

.

.

.

para n=n ==> n³-(n-1)³=3n²-3n+1

somando

1-1+.....+(n-1)+n³-(n-1) =3*(1²+2²+...+n²)-3*(1+2+3+....+n) +n

n³=3*(1²+2²+...+n²)-3*(1+2+3+....+n) +n

3*(1²+2²+...+n²) =n³+3*(1+2+3+....+n)-n

*** 1+2+3+....+n ===> usando Sn=(a1+an)*n/2 ==>(1+n)*n/2

***1+2+3+....+n = (1+n)*n/2

3*(1²+2²+...+n²) =n³+3*(1+n)*n/2-n

(1²+2²+...+n²) = n³/3+(1+n)*n/2 -n/3

Para n=100

1²+2²+3²+4²+...+100²  =100³/3+(1+100)*100/2-100/3

1²+2²+3²+4²+...+100²=338350 

#######################################

1+2+3+4+......+100 ==> Sn=(1+100)*100/2 = 5050

338350-5050 = 333.300  é a resposta