Question

Desafio a quem gosta de matematica =]

Answer 1

Racionalizar o denominador da expressão

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}$


Vamos fazer uma mudança de variáveis:

$u=\sqrt[3]{x}\;\;\Rightarrow\;\;x=u^{3}\\ \\ v=\sqrt[3]{y}\;\;\Rightarrow\;\;y=v^{3}$

E agora, queremos encontrar uma expressão equivalente a

$\dfrac{1}{u-v}$

Das relações acima, observa-se que queremos que o denominador envolva apenas expressões em $u^{3}$ e $v^{3}.$ Dessa forma, o denominador estaria racionalizado.


Temos o seguinte produto notável:

$u^{3}-v^{3}=(u-v)\,(u^{2}+uv+v^{2})$


Multiplicando o numerador e o denominador da expressão por $(u^{2}+uv+v^{2}),$ temos

$\dfrac{1}{u-v}\\ \\ \\ =\dfrac{1\cdot (u^{2}+uv+v^{2})}{(u-v)\,(u^{2}+uv+v^{2})}\\ \\ \\ =\dfrac{u^{2}+uv+v^{2}}{u^{3}-v^{3}}$


Substituindo de volta para as variáveis $x$ e $y,$ chegamos a

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^{2}}}{x-y}$


Resposta: alternativa $\text{c) }\dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^{2}}}{x-y}.$