Question

[Desafio - 50 PONTOS]

Sendo n um número natural, quando que a expressão a seguir resulta em um número primo?

$\mathsf{n^{4} + 4}$

Answer 1

Certamente há mais de uma forma de resolver esta tarefa. A mais simples consiste em tentar fatorar a expressão. Vejamos:

$n^{4} + 4$

$= ( n^{2} )^2 + 2^2$

Para completar um trinômio quadrado perfeito, vamos somar e subtrair  e a expressão fica: 









________

Um número natural só é primo se este possuir apenas dois divisores, sendo que exatamente um deles deve ser igual a 1.

Observando a expressão (i) percebemos que

  e  

são divisores de n^4 + 4


Como queremos que esta expressão seja um número primo, exatamente um desses dois divisores deve ser igual a , para n natural.


•   1ª possibilidade.  









e esta é a única possibilidade para  de modo que    seja primo.

________


De fato, substituindo no lado direito de (i) obtemos




e 5 é primo.            

Answer 2

Olá Guipocas.


Produtos notáveis usados:


$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}}}\\\\\\\star\boxed{\boxed{\mathsf{a^2-b^2=(a+b)\cdot(a - b)}}}$

____________________________

Sendo n um número natural, quando que a expressão a seguir resulta em um número primo?

$\mathsf{n^4+4}$

________________________


Uma das formas para encontrar valores onde uma expressão qualquer retorna números primos, seria através de fatoração.

Organizando a expressão do enunciado e fatorando.

$\mathsf{n^4+4}$

Some e subtraia $\mathsf{4n^2}$

$\mathsf{n^4+4+4n^2-4n^2}\\\\\mathsf{n^4+4n^2+4-4n^2}\\\\\mathsf{(n^2)^2+2\cdot2\cdot n^2+2^2-4n^2}\\\\\mathsf{(n^2+2)^2-4n^2}\\\\\mathsf{(n^2+2)^2-(2n)^2}\\\\\mathsf{(n^2+2-2n)\cdot(n^2+2+2n)}$

Conseguimos escrever a expressão dada como produto de dois fatores. Isso significa que é possível aparecerem dois números primos nessa expressão. 

Sabendo que o número primo só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo, vamos igualar um dos fatores a 1 e verificar se o resultado será um número primo.

$\mathsf{\boxed{\mathsf{(n^2+2-2n)}}\cdot(n^2+2+2n)}\\\\\\\mathsf{(n^2+2-2n) =1}\\\\\mathsf{n^2-2n+2=1}\\\\\mathsf{n^2-2n+2-1=0}\\\\\mathsf{n^2-2n+1=0}\\\\\mathsf{(n)^2-2\cdot1\cdot n+1^2=0}\\\\\mathsf{(n-1)^2=0}\\\\\mathsf{\sqrt{(n-1)^2}=\sqrt{0}}\\\\\mathsf{n-1=0}\\\\\mathsf{n=1}$

Substituindo o valor de n na expressão, temos.

$\mathsf{(n^2+2-2n)\cdot(n^2+2+2n)}\\\\\mathsf{(1^2+2-2\cdot1)\cdot(1^2+2+2\cdot1)}\\\\\mathsf{(1)\cdot(5)=\boxed{\mathsf{5}}}$

Portanto, 5 é um dos primos para a expressão dada.

Verificando se existirá outro. Dessa vez igualando o outro fator a 1.

$\mathsf{(n^2+2-2n)\cdot\boxed{\mathsf{(n^2+2+2n)}}}\\\\\mathsf{n^2+2+2n=1}\\\\\mathsf{n^2+2n+2=1}\\\\\mathsf{n^2+2n+2-1=0}\\\\\mathsf{n^2+2n+1=0}\\\\\mathsf{(n)^2+2\cdot1\cdot n+1^2=0}\\\\\mathsf{(n+1)^2=0}\\\\\mathsf{\sqrt{(n+1)^2}=\sqrt{0}}\\\\\mathsf{n+1=0}\\\\\mathsf{n=-1}$

Como n resultou em um valor negativo, a verificação não nos interessa, já que queremos apenas valores naturais.

Portanto existirá um único primo para a expressão dada que será para n = 1, que resultará no primo 5.

Dúvidas? comente.