(DESAFIO 100) Dividindo-se o polinômio P(x)=2 x⁴-5x³+kx-1 por (x-3) e (x+2), os restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a
A)10.
B)9.
C)8.
D)7.
E)6.
=>ALTERNATIVA CORRETA = (B)
=> Qualquer brincadeira, resposta incompleta ou errada será reportado.
=> Dê uma resolução clara
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Aqui você poderia dividir facilmente o polinômio pelos dois monômios e obter duas expressões para os restos em função de k, depois bastaria fazer as duas iguais.
No entanto, vamos fazer a resolução por outro método. Especificamente, utilizando o Teorema do Resto.
O Teorema do Resto versa que em um divisão de um polinômio P(x) por Q(x), sendo Q(x) = ax + b, então, o resto da divisão R(x) é R(x) = P(-b/a). Em que -b/a é a raiz de Q(x).
De posse disso, tomamos
- P(x) = 2x⁴- 5x³ + kx - 1 e
- Q'(x) = x - 3
- Q''(x) = x + 2
Pelo Teorema do Resto, existe R'(x), de forma que:
R'(x) = P(3) = 2(3)⁴- 5(3)³ + k(3) - 1
R'(x) = P(3) = 2(81) - 5(27) + 3k - 1
R'(x) = P(3) = 162 - 135 + 3k - 1
R'(x) = P(3) = 27 + 3k - 1
R'(x) = P(3) = 26 + 3k
Agora, fazemos para Q''(x):
R''(x) = P(-2) = 2(-2)⁴- 5(-2)³ + k(-2) - 1
R''(x) = P(-2) = 2(16) - 5(-8) -2k - 1
R''(x) = P(-2) = 32 + 40 -2k - 1
R''(x) = P(-2) = 72 - 2k - 1
R''(x) = P(-2) = 71 - 2k
A questão diz que os restos são iguais. Assim:
R'(x) = R''(x)
26 + 3k = 71 - 2k
3k + 2k = 71 - 26
5k = 45
k = 45/5
k = 9