Question

Derive implicitamente as três funções abaixo:

a) $2y+siny=x;$
b) $xe^{y}+xy=3;$
c) $xy^{2}+2y=3;$

Answer 1

Olá


A)

$\displaystyle\mathsf{2y+siny=x}\\\\\text{Derivando implicitamente}\\\\\mathsf{2\cdot y'+cosy\cdot y'=1}\\\\\text{Colocando o termo y' em evidencia}\\\\\mathsf{y'(2+cosy)=1}\\\\\text{Isolando o termo y'}\\\\\boxed{\mathsf{y'= \frac{1}{2+cosy} }}$



B)

$\displaystyle\mathsf{xe^y+xy=3}\\\\\text{Derivando implicitamente e aplica a regra do produto}\\\\\mathsf{(e^y+xe^y\cdot y')~+~(y+x\cdot y')=0}\\\\\mathsf{e^y+y+xe^y\cdot y'+x\cdot y'=0}\\\\\text{Passa os termos que nao possuem y', para o outro lado}\\\\\mathsf{xe^y\cdot y'+x\cdot y'=-e^y-y}\\\\\text{Poe o termo y' em evidencia}\\\\\mathsf{y'(xe^y+x)=-e^y-y}\\\\\text{Isola o y'}\\\\\boxed{\mathsf{y'= \frac{-e^y-y}{xe^y+x} }}$


C)

$\displaystyle \mathsf{xy^2+2y=3}\\\\\text{Derivando implicitamente e aplicando a regra do produto no termo }xy^2\\\\\mathsf{(y^2+2xy\cdot y' )+2\cdot y'=0}\\\\\mathsf{y^2+2xy\cdot y'+2\cdot y'=0}\\\\\text{Passa os termos que nao possuem y' para o outro lado}\\\\\mathsf{2xy\cdot y'+2\cdot y'=-y^2}\\\\\text{Coloca o y' em evidencia}\\\\\mathsf{y'(2xy+2)}=-y^2\\\\\text{Isola o y'}\\\\\boxed{\mathsf{y'= \frac{-y^2}{2xy+2} }}$




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