Question

Derive a função

$Y=x^{2} \sqrt{16-x}$

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y=x^{2} \sqrt{16-x}$

Observe que há um produto de funções, x² é uma função e √16 - x é outra, para derivar um tipo desse de função é necessário utilizar a regra do produto que diz:

$(f(x).g(x))' = f'(x).g(x) + f(x).g(x)'$

Digamos que as funções sejam:

$f(x) = {x}^{2} \: \: e \: \: g(x) = \sqrt{16 - x}$

Substituindo as funções na relação:

$(x {}^{2} . \sqrt{16 - x} )' = (x {}^{2} )'. \sqrt{16 - x} + x {}^{2} .( \sqrt{16 - x})' \\ \\ (x {}^{2} . \sqrt{16 - x} )' = 2x.( \sqrt{16 - x} ) + x {}^{2} .((16 - x) {}^{ \frac{1}{2} } )'$

Note que ali tem-se uma função composta, ou seja, é necessário aplicar a regra da cadeia, digamos então que:

$s(x) = (16 - x) {}^{ \frac{1}{2} } \longrightarrow u = 16 - x \: \: e \: \: s(x) = (u) {}^{ \frac{1}{2} }$

A regra da cadeia possui uma relação e ela é:

$\frac{d}{dx} s(x) = \frac{d}{du} s(x). \frac{du}{dx}$

Substituindo as funções nos seus devidos locais:

$\frac{d}{dx} s(x) = \frac{d}{du} u {}^{ \frac{1}{2} } . \frac{d}{dx} (16 - x) \\ \\ \frac{d}{dx} s(x) = \frac{1}{2u {}^{ \frac{1}{2} } } .( - 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{d}{dx} s(x) = - \frac{1}{2(16 - x) {}^{ \frac{1}{2} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esse resultado onde paramos na regra do produto:

$(x {}^{2} . \sqrt{16 - x} )' = 2x . \sqrt{16 - x} + x {}^{2} . \left( - \frac{1}{2 (\sqrt{16 - x} )} \right) \\ \\ (x {}^{2} . \sqrt{16 - x} )' = 2x. \sqrt{16 - x} - \frac{x {}^{2} }{2 \sqrt{16 - x} {}^{} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ (x {}^{2} . \sqrt{16 - x} )' = \frac{(2x. \sqrt{16 - x} ).(2 \sqrt{16 - x)} - x {}^{2} }{2 \sqrt{16 - x} } \\ \\ (x {}^{2} . \sqrt{16 - x} )' = \frac{4x.(16 - x) - x {}^{2} }{2 \sqrt{16 - x} } \\ \\ (x {}^{2} . \sqrt{16 - x} )' = \frac{64x - 4x {}^{2} - x {}^{2} }{2 \sqrt{16 - x} } \\ \\ \boxed{ \boxed{ (x {}^{2} . \sqrt{16 - x} )' = \frac{64x - 5x {}^{2} }{ 2\sqrt{16 - x} } }}$

Espero ter ajudado ajudado