Question

Derive a função: $f (x)= \sqrt{X}*ln X$

Alguém pode me ajudar no passo a passo?

Answer 1

$f(x) = \sqrt{x} *ln(x)$

usando a regra do produto

$\Bmatrix{U= \sqrt{x} =x^{ \frac{1}{2} }\\\\U'= \frac{1}{2}*x^{ \frac{1}{2}-1 } = \frac{1}{2}*x^{- \frac{1}{2} } = \frac{1}{2*x^ \frac{1}{2} } = \frac{1}{2 \sqrt{x} } \\\\\\V=ln(x)\\\\V'= \frac{1}{x} \end$

colocando na regra do produto
$f'(x)=U'*V+U*V'\\\\f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x} } *ln(x)+ \sqrt{x} * \frac{1}{x} \\\\f'(x)= \frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + \frac{ \sqrt{x} }{x} \\\\ \boxed{\boxed{f'(x)= \frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + \frac{ x^{ \frac{1}{2} } }{x} }}$

divisão de potencias de mesma base
$\boxed{\boxed{ \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}}}$

aplicando isso
$f'(x)= \frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + x^{ \frac{1}{2}-1 }\\\\f'(x)= \frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + x^{- \frac{1}{2}} \\\\ \boxed{f'(x)= \frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } }$

colocando 1/√x em evidencia
$f'(x)= \frac{1}{ \sqrt{x} } *\left( \frac{ln(x)}{2}+1 \right)$

assim você chega na resposta do gabarito....mas a resposta da mariana está certa...é o mesmo resultado