Question

Derivada implícita de
$2xy-ln xy+5=0$

Answer 1

Nesse caso, nem precisa isolar o 5 já que é uma constante.

Use regra do produto para derivar 2xy

F(x) = 2xy

F(x)' = 2x'y + 2xy'

F(x) = 2y + 2x*dx/dy

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G(x) = -Lnxy  ← regra da cadeia. 

$\\ G(x)' = (-lnxy)'*(xy)' \\ \\ G(x)' = -\frac{1}{xy} *(x'y + xy') \\ \\ G(x)' = - \frac{1}{xy} *(1y + x \frac{dx}{dy} ) \\ \\ G(x)' = -(\frac{y +x \frac{dx}{dy} }{xy} ) \\ \\ G(x)' = \frac{-y-x \frac{dx}{dy} }{xy}$

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Agora só juntar as derivadas;


↓


$\\ 2xy -lnxy + 5 = 0 \\ \\ 2y+2x \frac{dx}{dy} + \frac{-y-x \frac{dx}{dy} }{xy} +0=0 \\ \\ 2x \frac{dx}{dy} + \frac{-y-x \frac{dx}{dy} }{xy} = -2y \\ \\ \frac{2x \frac{dx}{dy}*xy-y-x \frac{dx}{dy} }{xy} =-2y \\ \\ 2x^2y \frac{dx}{dy} -y-x \frac{dx}{dy} = -2y*xy \\ \\ 2x^2y \frac{dx}{dy} -x \frac{dx}{dy} = -2xy^2+y \\ \\ \frac{dx}{dy} (2x^2y-x) = -2xy^2+y \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{-2xy^2+y}{2x^2y-x}$