Question

derivada implícita de raiz de x mais raiz de y= raiz de a

Answer 1

Para derivar implicitamente, basta derivar cada termo em particular e depois isolar o y', que é o nosso objetivo, já que a função que temos é y = f(x).

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$

Antes de ir adiante, é bom saber que a derivada de qualquer raiz quadrada é do tipo:

$y = \sqrt{x} \\ \\ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

Então, prosseguindo:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \\ \\ \frac{d(\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a})}{dx} \\ \\ \frac{d(\sqrt{x} + \sqrt{y} )}{dx}= \frac{d( \sqrt{a})}{dx} \\ \\ \frac{d( \sqrt{x} )}{dx} +\frac{d( \sqrt{y} )}{dx} = \frac{d( \sqrt{a} )}{dx} \\ \\ \frac{1}{2 \sqrt{x} } .x' + \frac{1}{2 \sqrt{y} }. y' = \frac{1}{2 \sqrt{a} } . a'$

Perceba que depois de derivar, coloquei a derivada da variável tbm. Porque é o correto, em se tratando que temos uma regra da cadeia: primeiro derivamos a raíz quadrada e depois o que está dentro dela, mas o que está dentro dela, no caso, x, depois y e depois a. 

Agora perceba que a derivada de uma constante é sempre zero,  que a derivada de x em relação a x é 1, então temos:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} } .x' + \frac{1}{2 \sqrt{y} }. y' = \frac{1}{2 \sqrt{a} } . a' \\ \\ \frac{1}{2 \sqrt{x} } .1 + \frac{1}{2 \sqrt{y} }. y' = \frac{1}{2 \sqrt{a} } . 0 \\ \\ \frac{1}{2 \sqrt{x} } + \frac{1}{2 \sqrt{y} }. y' = 0$

A derivação está completa, agora só precisamos isolar y':

$\frac{1}{2 \sqrt{x} } + \frac{1}{2 \sqrt{y} }. y' = 0 \\ \\ \frac{1}{2 \sqrt{y} }. y' = - \frac{1}{2 \sqrt{x} } \\ \\ \frac{y'}{2 \sqrt{y} } = - \frac{1}{2 \sqrt{x} } \\ \\ y' = - \frac{2 \sqrt{y} }{2 \sqrt{x} }$

Logo, a derivada implícita tem como resultado:

$y' = - \frac{ \sqrt{y} }{ \sqrt{x} }$

Se quiser ajeitar a resposta (o que não é obrigatório) ainda podemos racionalizar:

$y' = - \frac{ \sqrt{y} }{ \sqrt{x} } . \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } = \frac{ \sqrt{yx} }{x}$