Question

Derivada

f(x)=sen(3x).cos(3x)-tg(3x)+cotg(3x)+sec(3x)

Answer 1

A derivada da função f(x) é f'(x) = 3·(cos²(3x) - sen²(3x) +  sec²(3x) - cossec²(3x) + tg(3x)·sec(3x)).

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Para derivar a função, devemos utilizar a regra da cadeia;

• A regra da cadeia segue a seguinte expressão g(f(x))' = f'(x).g'(f(x));

• Também precisamos utilizar a regra do produto: [f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x);

Vamos dividir essa função em etapas. Primeiro, vamos derivar sen(3x)·cos(3x):

Pela regra da cadeia:

d/dx sen(3x) = 3·cos(3x)

d/dx cos(3x) = -3·sen(3x)

Pela regra do produto:

d/dx sen(3x)·cos(3x) = 3·cos(3x)·cos(3x) + sen(3x)·(-3·sen(3x))

d/dx sen(3x)·cos(3x) = 3·cos²(3x) - 3·sen²(3x)

Agora, vamos derivar cada uma das outras funções:

d/dx tg(3x) = 3·sec²(3x)

d/dx cotg(3x) = -3·cossec²(3x)

d/dx sec(3x) = 3·tg(3x)·sec(3x)

O resultado final será:

f'(x) = 3·cos²(3x) - 3·sen²(3x) +  3·sec²(3x) - 3·cossec²(3x) + 3·tg(3x)·sec(3x)

f'(x) = 3·(cos²(3x) - sen²(3x) +  sec²(3x) - cossec²(3x) + tg(3x)·sec(3x))