Question

Derivada da função:
$h(t)=(t^4-1)^3(t^3+1)^4$
No gabarito, a resposta aparece como o produto de vários termos. Se alguém puder me explicar o porquê, ficaria grato.

Answer 1

Regra da cadeia

$\boxed{\boxed{\mathsf{[f(g(x)]'=f'[g(x)].g'(x)}}}$

Regra do produto

$\boxed{\boxed{\mathsf{[f(x).g(x)]'=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)}}}$

$h(t)=(t^4-1)^3(t^3+1)^4 \\ h'(t) = 3 {( {t}^{4} - 1 )}^{2} .4 {t}^{3}{( {t}^{3} + 1)}^{4} + \\ {( {t}^{4} - 1 )}^{3}.4 {( {t}^{3} + 1 )}^{3} .3 {t}^{2}$

Colocando ${({t}^{4}-1)}^{2}$ e ${({t}^{3}+1)}^{3}$ em evidência temos

$h'(t) = {( {t}^{4} - 1)}^{2} {( {t}^{3} + 1 )}^{3} \\ [12 {t}^{3}( {t}^{3} + 1) + ( {t}^{4} - 1).12 {t}^{2} ]$

$h'(t) = {( {t}^{4} - 1)}^{2} {( {t}^{3} + 1)}^{3} \\ [12 {t}^{6} + 12 {t}^{3} + 12 {t}^{6} - 12 {t}^{2} ]$

$h'(t) = {( {t}^{4} - 1)}^{2} {( {t}^{3} + 1)}^{3} \\ [24{t}^{6} + 12 {t}^{3} - 12 {t}^{2} ]$

Vamos colocar $12{t}^{2}$ e finalizar o exercício

$h'(t) = {( {t}^{4} - 1)}^{2} {( {t}^{3} + 1)}^{3} \\ [12 {t}^{2} ( 2{t}^{4} + t-1) ]$

Por fim

$h'(t) = \\ 12 {t}^{2} {( {t}^{4} - 1)}^{2} {( {t}^{3} + 1)}^{3} (2 {t}^{4} + t - 12)$