Matemática, perguntado por paulocatrevisan, 1 ano atrás

Derivada:................

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Kairalc
2
Regra da cadeia:
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis, então a derivada da composta f(g(x)) é:
f(g(x))'=f'(g(x)).g'(x)


f(x)= \sqrt{1+ 2e^{3x} }  \\ f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{1+ 2e^{3x}} } (2 e^{3x}.3) \\ f'(x)= \frac{3 e^{3x} }{ \sqrt{1+ 2e^{3x}} }
Respondido por Sban1
0

O valor da derivada desse função é

\boxed{\dfrac{3e^{3x}}{ \sqrt{1+2e^{3x}} }}

  • Mas, como chegamos nessa resposta ?

Propriedade da derivada necessárias para responder a questão

  • DERIVADA RAIZ QUADRADA DE X

    \dfrac{dy}{dx} (\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2\sqrt{x} }

  • DERIVADA DE EULER

   \dfrac{dy}{dx} (e^x) = e^x

Para resolver essa questão teremos que aplicar a regra da cadeia

  • REGRA DA CADEIA

\dfrac{df(u)}{dx} =\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}

  • A regra da cadeia serve para resolver derivadas com funções compostas
  • Chamamos um parte da função de U de modo que  ao chamarmos tal parte de U a função fique fácil de derivar e em seguida  derivamos. Depois substituirmos U pelo valor inicial dado e em seguida multiplicamos pela derivada do valor inicial

Nessa questão temos a função F(x)= \sqrt{1+2e^{3x}}

Vou chamar U de (1+2e^{3x})

U=(1+2e^{3x})

Vamos lá

\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{1+2e^{3x}}\right )\\\\\\\dfrac{dy}{du}(\sqrt{u})\cdot  \dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})\\\\\\\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{u} } \cdot \dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})\\\\\\\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{1+2e^{3x}} }\cdot \boxed{\dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})}

Parece que teremos que aplicar a regra da cadeia de novo então vamos fazer isoladamente \boxed{\dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})} e depois multiplicar por   \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{1+2e^{3x}} }

Vamos achar \boxed{\dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})}, como 1 é constante a derivada da 0 o que realmente queremos é a derivada de 2e^{3x}  

aplicando a regra da cadeia vamos chamar o U de 3x

U=3X

\dfrac{dy}{dx}  (2e^{3x}) \\\\\\\dfrac{dy}{du} (2e^{u})\cdot \dfrac{du}{dx} (3x)\\\\\\2e^u\cdot 3\\\\2e^{3x}\cdot 3\\\\\\\boxed{6e^{3x}}

agora basta multiplicarmos pela parte que ja encontramos

\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{1+2e^{3x}} }\cdot 6e^{3x}\\\\\\\dfrac{6e^{3x}}{2\cdot \sqrt{1+2e^{3x}} }\\\\\\\\\boxed{\dfrac{3e^{3x}}{ \sqrt{1+2e^{3x}} }}

Então concluímos que a derivada  da função  F(x)= \sqrt{1+2e^{3x}} é

\boxed{\dfrac{3e^{3x}}{ \sqrt{1+2e^{3x}} }}

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