Question

[Derivada / 20 pontos]

Aplique a regra de L'Hospital e calcule o limite:
$\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{x+4} -2}{x}$


Pra mim deu 1, mas meu material de estudo informa 1/4. Agradeço a ajuda!

Answer 1

Derivada de x é 1 (1* x^ (1-1) = 1*x^0 = 1*1 = 1)
Derivada de $\sqrt{x+4} -2$ é igual a derivada de $\sqrt{x+4}$ menos a derivada de 2. (Derivada de uma constante é 0)
$f(x)= \sqrt{x+4} => f'(x) ...$

Vamos chamar x+4  de a.
$f(x)= \sqrt{a}$
$f'( \sqrt{a})= \frac{1}{ 2\sqrt{a} }$

voltando com o valor inicial de a ..
$f'( \sqrt{x+4}) = \frac{1}{2 \sqrt{x+4} }$


$\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{x+4} -2 }{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{x+4} } }{1} = \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{0+4} } }{1} = \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{4} } }{1} = \frac{ \frac{1}{2* 2 } }{1} = \frac{1}{4}$