Question

derivaçao da letra g j por favor

Answer 1

Vamos seguir a ordem dos itens, ou seja, começar primeiro pelo item g). Temos a seguinte função$\sf f(x) = \sqrt[3]{(3 {x}^{2} + 5x - 1) {}^{2} }$, podemos iniciar transformando essa raiz em uma potência através da seguinte propriedade de potência/radiciação:

$\boxed{ \boxed{ \sf \sqrt[m]{a {}^{n} } = a {}^{ \frac{n}{m} } }}$

Aplicando a propriedade:

$\sf f(x) = \sqrt[3]{(3 {x}^{2} + 5x - 1) {}^{2} } \\ \sf f(x) = (3x {}^{2} + 5x - 1) {}^{ \frac{2}{3} } \: \: \: \:$

Note que essa aplicação tornou a fácil visualização de que essa função trata-se de uma do tipo composta, ou seja, temos que aplicar a regra da cadeia, que diz: $\sf\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$. Vamos começar dando nomes as funções, a função que encontra dentro do parêntese, podemos chamá-la de "u":

$\sf u = 3x { }^{2} + 5x - 1$

Já a função "y" engloba a função "u" que estará elevada a potência 2/3:

$\sf y = u {}^{ \frac{2}{3} }$

Aplicando a regra da cadeia:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} u {}^{ \frac{2}{3} } . \frac{d}{dx} (3 {x}^{2} + 5x - 1) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} .u {}^{ \frac{2}{3} - 1 } .(6x + 5) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} u {}^{ \frac{2- 3}{3} } .(6x + 5) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} u {}^{ - \frac{1}{3} } .(6x + 5) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} . \frac{1}{u {}^{ \frac{1}{3} } } .(6x + 5) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{12x + 10}{3 \sqrt[3]{u} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Repondo a expressão que representa "u":

$\boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{12x + 10}{3 \sqrt[3 ]{3x { }^{2 } + 5x - 1} } }$

Agora vamos para o item j, ele é bem simples de se resolver ja que trata-se da soma de várias funções independentes, então podemos aplicar a propriedade da derivada da soma que diz:

• A derivada da soma de várias funções é igual a soma das derivadas de cada uma das funções, essa relação é conhecida por:

$\boxed{ \sf \frac{dy}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)}$

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = 5x {}^{4} + 2x {}^{ - 3} + 4x {}^{ - \frac{2}{3} }$

Aplicando a propriedade citada acima:

$\sf \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (5x {}^{4} ) + \frac{d}{dx} (2x {}^{ - 3} ) + \frac{d}{dx} (4x) {}^{ - \frac{ 2 }{3} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} f(x) = 20x {}^{3} -6x {}^{ - 4} + \frac{2}{3} .4 x{}^{ {}^{ - \frac{2}{3} - 1} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx} f(x) = 20x {}^{3} - \frac{6}{x {}^{4} } + \frac{8x {}^{ \frac{ - 2 - 3}{3} } }{3} {}^{ } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx} f(x) = 20x {}^{3} - \frac{6}{x {}^{4} } + \frac{8x {}^{ - \frac{5}{3} } }{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf \frac{d}{dx} f(x) = 20x {}^{3} - \frac{6}{x {}^{4} } + \frac{8}{3 \sqrt[3]{x {}^{5} }} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado