Question

 Dentre todos os retângulos de perímetro 20. Identifique aquele de área Máxima.

Answer 1

considerando retângulo de lados x e y, com x maior que y temos que:

perímetro P= 2x+2y= 20

área A= x.y isolando y:
y=A/x

substituindo y no perímetro. temos:
2x+2(A/x)=20
2x+2A/x=20
2x^2+ 2A=20x
2x^2 - 20x +2A=0

como não temos área zero podemos dizer que Delta deve ser maior que zero. então.

Δ > 0.

b2-4ac>0

(-20)-4.2.2A>0

400 -16A > 0

-16A > -400 (-1)

16A < 400

A< 400/16

A<25.
para A=24
daí nossa equação fica
$2 {x}^{2} - 20x + 48 = 0$
dividindo toda equação por (2).
${x}^{2} - 10x + 24 = 0$
resolvendo por soma e produto encontramos x1= 6
x2= 4

A=x.y
24=6.y
y= 4

daí então 6.4==24cm
maior área que esse retângulo pode assumir.


espero ter ajudado.

Answer 2

Os retângulos com dimensões 5 x 5 têm área máxima.

Chamando os lados consecutivos desse retângulo de x e y, temos:

Perímetro = x + x + y + y

P = 2x + 2y

Se o perímetro é 20, temos:

2x + 2y = 20

Simplificando, dividimos todos os termos por 2. Assim, temos:

x + y = 10

Isolamos o y, fica:

y = 10 - x

A área de um retângulo é dado pelo produto de seus lados consecutivos. Logo:

A = x · y

Substituindo o y, temos:

A = x · (10 - x)

A = - x² + 10x

A área é dada por uma equação do 2° grau.

Como o coeficiente a é negativo (a < 0), a função tem valor máximo no ponto do Y do vértice. Logo:

Yv = - Δ

        4a

Yv = - (b² - 4ac)

            4a

Yv = - (10² - 4.(-1).0)

              4.(-1)

Yv = - 100

          - 4

Yv = 25

Portanto:

Amáx = 25

O valor de x para essa área é dado pelo Xv.

Xv = - b

        2a

Xv = - 10

        2.(-1)

Xv = - 10

        - 2

Xv = 5

Portanto, as dimensões devem ser 5 x 5.

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