Dentre os cilindros circulares de área total 54πa², aquele de maior volume tem raio da base R e altura H. Qual o valor de H ÷ R ? Dica: dada uma função do tipo f(x) = mx – nx³, com m, n e x positivos, seu valor máximo ocorrerá quando m – 3nx² = 0. *
Soluções para a tarefa
Resposta:
O valor de H ÷ R é igual a 2.
Explicação passo a passo:
A área do cilindro é :
A = 2*pi * R^2 + 2*pi*R*H = 54*pi*a^2 (1)
E o volume é:
V = pi*R^2*H (2)
Isolando H em (1):
2*pi*R*H = 54*pi*a^2 - 2*pi*R^2
=> pi*R*H = 27*pi*a^2 - pi*R^2
=> H = (27*pi*a^2 - pi*R^2) / pi*R
=> H = 27*a^2/R - R (3)
Substituindo a equação (3) em (2):
V = pi*R^2*(27*a^2/R - R)
V = 27*pi*a^2*R - pi*R^3
O volume máximo ocorrerá quando a derivada primeira de V em R for igual a zero, então:
V' = 27*pi*a^2 - 3*pi*R^2 = 0
=> 3*pi*R^2 = 27*pi*a^2
=> R^2 = 9*a^2
=> R = 3*a
Substituindo esse valor de R em (3):
H = 27*a^2/R - R
H = 27*a^2/3*a - 3*a
H = 9*a - 3*a = 6*a
Portanto o valor de H ÷ R é igual a 6*a/3*a = 2.