Dentre 9 números positivos e 5 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números sem reposição e multiplicam-se esses números. Qual é a probabilidade de o produto ser um número positivo?.
Soluções para a tarefa
49,05% é a probabilidade de que os 4 números apresentem produto positivo.
Resolução através da combinação simples e probabilidade
Primeiramente, queremos selecionar 4 números de um total de 14. Então iremos calcular quantas combinações são possíveis no total. Para isto, usaremos a fórmula da combinação. Ficará assim:
C(n,p) = n!/p!(n-p)!, onde n representa o número total de alternativas de números, e p representa o valor de interesse.
C(14,4) = 14!/4!(14-4)!
C(14,4) = 14!/4!10!
C(14,4) = 14 × 13 × 12 × 11 × 10!/4!10! (aqui podemos eliminar o 10! do numerador e do denominador)
C(14,4) = (14 × 13 × 12 × 11)/(4 × 3 × 2 × 1)
C(14,4) = 24024/24
C(14,4) = 1001
Assim, descobrimos que temos uma possibilidade de 1001 combinações diferentes de 4 números. Agora, precisamos ter em mente que para que o produto dos 4 números ser positivos precisamos de um de três cenários: ou todos os números são positivos, ou todos são negativos ou são dois positivos e dois negativos. Assim, calcularemos quantas combinações são possíveis em cada cenário. Para todos os 4 números positivos temos que:
C(9,4) = 9!/4!(9-4)!
C(9,4) = 9!/4!5!
C(9,4) = (9 × 8 × 7 × 6 × 5!)/4!5! (aqui podemos eliminar os 5!)
C(9,4) = (9 × 8 × 7 × 6)/(4 × 3 × 2 × 1)
C(9,4) = 3024/24
C(9,4) = 126
Assim, 126 combinações de 4 números positivos são possíveis. Agora para números negativos:
C(5,4) = 5!/4!(5-4)!
C(5,4) = 5!/4!1!
C(5,4) = (5 × 4!)/4!1! (aqui podemos eliminar os 4!)
C(5,4) = 5/1
C(5,4) = 5
Assim, 5 combinações são possíveis de 4 números negativos. Agora, calcularemos o número de combinações possíveis para dois positivos e dois negativos. Isto será representado pela combinação dos números positivos dois a dois, pela combinação dos números negativos dois a dois. O cálculo ficará assim:
C = C(9,2) × C(5,2)
C = (9!/2!7!) × 5!/2!3!
C = (9 × 8/2) × (5 × 4/2)
C = (72/2) × (20/2)
C = 36 × 10
C = 360
Assim, 360 é o número de combinações possíveis com dois números positivos e dois números negativos. Assim, para concluirmos qual o total de combinações possíveis que resultarão em um produto positivo basta somarmos os valores de cada uma das três situações acima. Logo:
126 + 5 + 360 = 491
Assim, 491 é o número de combinações possíveis de 4 números cujo produto é positivo. Agora para calcularmos a probabilidade basta fazermos a razão do número de eventos de interesse pelo número total de eventos, ou seja:
P = 491/1001
P = 0,4905
Este valor multiplicado por 100 nos dará um percentual. Logo:
P = 0,4905 × 100
P = 49,05%
Assim, descobrimos que a probabilidade de o produto de 4 números escolhidos aleatoriamente ser positivo é de 49,05%.
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