Question

dentermine a funçao inversa de f(x)=2-x/3x-1​

Answer 1

Resposta:

$y = \frac{x + 2}{3x + 1}$

Explicação passo a passo:

Para acharmos o inverso da função $f(x) = \frac{2 - x}{3x - 1}$, vamos começar trocando o f(x) por y, para que nosso entendimento fique claro.

Teremos, então:

$y = \frac{2 - x}{3x - 1}$

Agora, nosso próximo passo é trocar o y por x e vice-versa da seguinte maneira:

$x = \frac{2 - y}{3y - 1}$

Certo, agora que invertemos os nossos x e y, precisamos entender que debaixo do x existe um número 1, vamos inseri-lo na função.

Assim, teremos:

$\frac{x}{1} = \frac{2 - y}{3y - 1}$

Agora, com a função estruturada dessa maneira podemos fazer uma multiplicação cruzada entre os termos.

x (3y - 1) = 2 - y

3yx - 1x = 2 - y ---> aqui vamos separar os termos que têm y dos que não têm

3xy + y = 1x + 2 ---> com o y, simplificaremos por fator comum em evidência

y (3x + 1) = 1x + 2 ---> agora podemos passar o termo sendo multiplicado pelo y da esquerda para direita, dessa forma, será dividido pelo 1x + 2

y = (x + 2) / (3x + 1)

Assim, temos o inverso da função.

Answer 2

De acordo com os dados do enunciado solucionado concluímos que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f^{-1} (x) : \mathbb{R} - \left\{ -\:\dfrac{1}{3} \right \} \to \mathbb{R} - \left\{ \dfrac{1}{3} \right \} ~ dada ~ por ~y = \dfrac{x+2}{3x+1} } }$

A função inversa de f(x)  e indicamos por $\textstyle \sf \sf f^{-1}(x)$. A função tal que $\textstyle \sf \sf f^{-1} (y) = x \Longleftrightarrow f(x) = y$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x) = \dfrac{2-x}{3x-1} } }$

Solução:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{2-x}{3x-1} } }\:\: \gets \large \text {\sf trocando y por x e x por y }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{2-y}{3y-1} } }\:\: \gets \large \text {\sf isolando y}$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x \cdot (3y -1) = 2-y }$

$\Large \displaystyle \mathsf{3xy - x =2-y }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3xy + y = x + 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y \cdot (3x + 1) = x+2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = \dfrac{x+2}{3x + 1} \quad com ~ x\neq -\; 1/3 }$

Dessa forma a inversa é:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f^{-1} (x) = \dfrac{x+2}{3x + 1} }$

Logo, $\textstyle \sf \text { \sf f^{-1} (x) : \mathbb{R} - \left\{ -\: \dfrac{1}{3} \right \} \to \mathbb{R} - \left\{\dfrac{1}{3} \right \} ~ dada ~ por ~y = \dfrac{x+2}{3x+1} }$.

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