Question

denominamos de comutador de matrizes...​

Answer 1

Começamos por calcular o produto em cada uma das ordens.

Temos então:

$S_1 S_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \times 0 + 0 \times 1 &  1 \times 1 + 0 \times 0 \\ 0 \times 0 - 1 \times 1  & 0 \times 1 - 1 \times 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.$

Na outra ordenação, temos:

$S_2 S_1 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \times 1 + 1 \times 0 &  0 \times 0 - 1 \times 1 \\ 1 \times 1 + 0 \times 0  & 1 \times 0 - 0 \times 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}.$

O comutador de $S_1$ e $S_2$ é então:

$[S_1, S_2] = S_1S_2 - S_2S_1 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0-0 & 1+1 \\ -1-1 & 0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ -2 & 0\end{pmatrix}.$

Como $[S_1, S_2] \neq 0$, $S_1$ e $S_2$ não comutam.