Demostre a identidade: Cos (a+b).cos (a-b)=cos2b-sen2a
Soluções para a tarefa
Partindo da expressão do lado esquerdo, vamos expandir os cossenos pela fórmula do cosseno da soma e da diferença:
cos(a + b) · cos(a − b)
= (cos a cos b − sen a sen b) · (cos a cos b + sen a sen b) (i)
Aqui temos o produto da diferença pela soma de dois termos. Podemos usar produtos notáveis:
(p − q) · (p + q) = p² − q²
onde p = cos a cos b e q = sen a sen b.
Então, a expressão (i) fica
= (cos a cos b)² − (sen a sen b)²
= cos² a cos² b − sen² a sen² b (ii)
Some e subtraia sen² a cos² b de modo que possamos fatorar por agrupamento:
= cos² a cos² b + sen² a cos² b − sen² a cos² b − sen² a sen² b
Coloque em evidência cos² b nas duas primeiras parcelas e sen² a nas duas últimas:
= cos² b · (cos² a + sen² a) − sen² a · (cos² b + sen² b)
= cos² b · (1) − sen² a · (1)
= cos² b − sen² a
como queríamos demonstrar.
Bons estudos! :-)