Question

Demostrar usando o princípio da indução infinita. Preciso entender esse princípio pra resolver outras semelhantes a essa.​

Answer 1

Resposta:

Olá,

Explicação passo-a-passo:

Princípio da Indução Finita é dado pela asserção:

Seja P(n) uma propriedade descrita em termos de números naturais n. Suponhamos que as afirmações abaixo estejam satisfeitas:

a) P(1) é válida.

b) Se P(k) vale então P(k+1) também vale.

Nesse caso então P(n) é válida para todo .

Vamos considerar

P(n) :        1+2+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$

para todo número natural.

P(1):  1 = 1.2/2 =1

Portanto, n=1 torna válida a asserção p(1)

Agora, vamos assumir que

P(k) é verdadeira, isto é

P(k) :        1+2+...+k=$\frac{k(k+1)}{2}$

Nosso objetivo é mostra que P(k+1) é verificada.

Considere:

1+2+......+k+(k+1)

Como, por hipótese, P(k) é verdadeira, temos

1+2+......+k+(k+1)=   $\frac{k(k+1)}{2}$ +(k+1) = $\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$

Disso obtemos,

1+2+......+k+(k+1) =$\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$

Ou seja,

a propriedade P(k+1) é verificada.

Pelo PIF, temos que P(n) é verdadeira para todo n natural.

Bons estudos.