Question

Demonstre que (tg x - sen x)² + (1 - cos x)² = (sec x - 1)²

Answer 1

Antes, lembrar da relação fundamental da trigonometria :

$Sen^2 \alpha + Cos^2 \alpha = 1$

Logo :

$Sen^2 \alpha = 1 - Cos^2 \alpha$

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Da mesma relação podemos tirar :

$Sen^2 \alpha + Cos^2 \alpha = 1$

dividindo todo mundo sobre o cosseno ao quadrado :

$\frac{Sen^2 \alpha }{Cos^2 \alpha} + \frac{Cos^2 \alpha}{Cos^2 \alpha} = \frac{1}{Cos^2 \alpha}$

$Tg^2 \alpha + 1 = Sec^2 \alpha \\ Tg^2 \alpha = Sec^2 \alpha - 1$

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Sabendo disso, vamos desenvolver :

$(tg \alpha - sen \alpha )^2 + ( 1 - cos \alpha )^2$

$Tg^2 \alpha - 2.tg \alpha .sen \alpha + Sen^2 \alpha + 1 - 2.cos \alpha + cos^2 \alpha$

$Tg^2 \alpha - 2.tg \alpha .sen \alpha - 2.cos \alpha + 1 + 1$


$Tg^2 \alpha - 2. \frac{sen \alpha }{cos \alpha } .sen \alpha - 2.cos \alpha + 2$

$Tg^2 \alpha - 2. \frac{sen^2 \alpha }{cos \alpha } - 2.cos \alpha + 2$

$Tg^2 \alpha - \frac{2.sen^2 \alpha - 2.cos^2 \alpha }{cos \alpha } + 2$

$Tg^2 \alpha + \frac{-2( sen^2 \alpha + cos^2 \alpha ) }{cos \alpha } + 2$

$Tg^2 \alpha + \frac{-2(1) }{cos \alpha } + 2$

$Tg^2 \alpha -2.sec \alpha + 2$

Lembrando que : $Tg^2 \alpha = Sec^2 \alpha - 1$

$Sec^2 \alpha - 1 -2.sec \alpha + 2$

$Sec^2 \alpha -2.sec \alpha + 1 = ( Sec \alpha - 1 )^2$