Question

Demonstre que sen(a + b) . sen(a - b) = cos² b - cos² a

Answer 1

Vamos lá:

O seno da soma de dois ângulos a e b é dado por:
$sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a$
O seno da diferença de dois ângulos a e b é dado por:
$sen(a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a$

Então:
$sen(a + b) . sen(a - b) =\\ \\ (sen a . cos b + sen b . cos a)(sen a . cos b - sen b . cos a)= \\ \\sen^2 a . cos^2 b - sen^2 b . cos^2 a$

Da Identidade Fundamental:
$cos^2 x = 1 - sen^2 x$

então:

$sen(a + b) . sen(a - b)= \\ sen^2 a . (1 - sen^2 b) - sen^2 b . (1 - sen^2 a)= \\ sen^2 a - sen^2 a . sen^2 b - sen^2 b + sen^2 b . sen^2 a= \\ sen^2 a - sen^2 b$


$\boxed{sen(a + b) . sen(a - b)=sen^2 a - sen^2 b}$