Question

demonstre que o triangulo de vertices A(8,2), B(3,7), C(2,1) é isosceles. em seguida, calcule a area e o perimetro

Answer 1

Para demonstrar que ele é isóceles temos que calcular a distancia entre todos os pontos e verificar se elas são iguais.

$Distancia = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \\\\\\ Dab = \sqrt{(8 - 3)^2 + (2 - 7)^2} \\ Dab = \sqrt{(5)^2+(-5)^2} \\ Dab = \sqrt{25 + 25} \\ Dab = \sqrt{50} \\\\ Dac = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 1)^2} \\ Dac = \sqrt{(6)^2+(1)^2} \\ Dac = \sqrt{36 + 1} \\ Dac = \sqrt{37} \\\\ Dbc = \sqrt{(3 - 2)^2 + (7 - 1)^2} \\ Dbc = \sqrt{(1)^2+(6)^2} \\ Dbc = \sqrt{1 + 36} \\ Dbc = \sqrt{37}$


Lembrando, triângulo isóceles é aquele que tem pelo menos dois lados iguais, que é este caso.

Descobrindo a altura do triângulo

 $L^2 = (\frac{b}{2})^2 + h^2 \\\\ \sqrt{37^2}= \frac{ \sqrt{50}^2 }{2^2} + h^2 \\\\ 37 = \frac{50}{4} + h^2 \\\\ 37 - 25 = h^2 \\\\ h = \sqrt{12}$

Area do triângulo:

$A = \frac{b.h}{2} \\\\ A = \frac{\sqrt{50}~.~\sqrt{12}}{2} \\\\ A = \frac{\sqrt{50.12}}{2} \\\\ A = \frac{\sqrt{2.5.5~.~2.2.3}}{2} \\\\ A = \frac{\sqrt{2^2.2.3.5^2}}{2} \\\\ A = \frac{2.5\sqrt{2.3}}{2} \\\\ A = 5\sqrt{6}$



Perimetro:

$P = \sqrt{37} + \sqrt{37} + \sqrt{50} \\\\ P = 2 \sqrt{37} + \sqrt{50}$

Sem calculadora não temos como continuar, o certo seria parar por aí, porém vou utilizar a calculadora para continuar a conta:

$P = 2. (3,17) + 7,07 \\ P = 6,34 + 7,07 \\ P = 13,41$