Question

demonstre que o inverso de raiz quadrada 2-1é raiz quadrada de 2+1

Answer 1

Demonstrar que: 

$\frac{1}{ \sqrt{2} -1} = \sqrt{2} + 1$

Parte I - ida:

Sabendo que: 

$\frac{ \sqrt{2}+1 }{ \sqrt{2}+1 } = 1$  e que 1 multiplicado por qualquer número é igual a ele mesmo, temos:

Método da racionalização:

$\frac{1}{ \sqrt{2}-1 } . \frac{ \sqrt{2}+1 }{ \sqrt{2} +1} = \\\\ \frac{ \sqrt{2}+1 }{ (\sqrt{2})^2 - (1)^2 } = \\\\ \frac{ \sqrt{2}+1 }{2-1} = \\\\ \frac{ \sqrt{2}+1 }{1} = \\\\ \sqrt{2}+1$

Portanto pelo método da racionalização chegamos a conclusão que a igualdade é verdadeira.

Parte II - volta:

Para toda igualdade, vale a ida e a volta, portanto precisamos provar que:

$\sqrt{2}+1 = \frac{1}{ \sqrt{2} -1}$

Sabendo que:

$\frac{ \sqrt{2} -1}{ \sqrt{2}-1 } = 1$ e que qualquer número multiplicado por 1 não altera em nada temos:

Utilizando método da racionalização novamente:

$\sqrt{2}+1. \frac{ \sqrt{2} -1}{ \sqrt{2}-1 } = \\\\ \frac{( \sqrt{2}+1).(\sqrt{2}-1) }{ \sqrt{2}-1 } = \\\\ \frac{ (\sqrt{2})^2 - (1)^2 }{ \sqrt{2}-1 } = \\\\ \frac{2-1}{ \sqrt{2}-1 } = \\\\ \frac{1}{ \sqrt{2}-1 }$

Portanto, concluímos que a volta também é verdadeira.

Assim se prova que a igualdade é verdadeira.


;)