Question

Demonstre que o enunciado abaixo é verdadeiro:

${x}^{2} \geqslant 0, \forall x \in \mathbb{R}$
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Answer 1

Relembramos que o conjunto dos números reais possuem duas operações chamadas adição e multiplicação que satisfazem as seguintes propriedades:

C1) Comutatividade da adição

x + y = y + x ∀x,y ∈ R

C2) Associatividade da adição

x+(y+z) = (x+y)+z ∀x,y,z ∈ R

C3) Existência de elemento neutro para adição

Existe 0 ∈ R tal que 0 + x = x ∀x ∈ R

C4) Existência de inverso aditivo

∀x ∈ R existe -x ∈ R  tal que x + (-x) = 0

C5) Comutatividade da multiplicação

xy = yx    ∀x,y ∈ R

C6) Associatividade da multiplicação

x(yz) = (xy)z   ∀x,y,z ∈ R

C7) elemento neutro para multiplicação

Existe 1 ∈ R tal que 1x = x ∀x ∈ R

C8) Inverso multiplicativo para elementos não nulos

∀x ≠ 0 existe x⁻¹ ∈ R tal que xx⁻¹ = 1

C9) Distributividade

x(y+z) = xy + yz  ∀x,y,z ∈ R

(x+y)z = xz + yz  ∀x,y,z ∈ R

Quando um conjunto possui essas propriedades chamamos tal conjunto de corpo. Assim, os números reais formam um corpo.

Dentro do conjunto dos números reais existe um subconjunto P chamado conjunto dos números positivos que possui as seguintes propriedades:

O1) Para todo numero real x vale exatamente uma das seguintes possibilidades:

x ∈ P , -x ∈ P , x = 0

O2) A soma de dois números positivos é um número positivo. E a multiplicação de dois números positivos também é um número positivo.

Essas propriedades são chamada axiomas de ordem. Dizemos que os números reais formam um corpo ordenado.

Por fim, lembramos que um número x é maior que y quando existe um número k positivo tal que x = y + k. Notamos que isso implica que um número x é positivo se, e somente se, x > 0, pois x = x+0.

Voltando ao problema, seja x um número real qualquer. Pela propriedade O1 temos três casos:

1º caso: x = 0

Nesse caso x² = 0. Portanto x² ≥ 0

2° caso: x é positivo

Nesse caso x² = x*x é o produto de dois números positivos. Por O2 x² é positivo. Logo, x² = x²+0 ⇒ x² > 0 ⇒ x² ≥ 0.

3° caso: -x é positivo

Nesse caso, observamos que x² = (-x)*(-x). Ou seja, x² novamente é o produto de dois números positivos. Por O2 segue que x² ≥ 0

Assim, concluímos em todos os casos que x² ≥ 0

Obs.:

As propriedades 0² = 0 e x² = (-x)² que usamos no primeiro e terceiro caso podem ser provadas com os axiomas de corpo (por isso os listei aqui). No caso desse problema, acredito que isso já deva ser assumido como verdadeiro, mas é bom saber que essas regras que usamos no dia a dia não são arbitrárias. Ou seja, "menos com menos da mais" é uma decorrência as propriedades C1 até C9 e não uma escolha aleatória feita por alguém.

0² = 0:

Para mostrar isso observamos que

x = 1x por  C7

x = (1+0)x  por C4

x = 1x + 0x por C9

x = x + 0x por C7

(-x) + x = (-x) + (x + 0x)

0 = 0x por C2 e C4

Ou seja, concluímos que 0x = 0 para qualquer x. Em particular 0² = 0

x² = (-x)²:

Note que (dessa vez mais suscintamente mas cada igualdade abaixo esta justificada por algum dos axiomas e da propriedade 0x = 0 que vimos acima)

x + (-1)x = 1x + (-1)x = (1 + (-1))x = 0x = 0

Ou seja

x + (-1)x = 0

(-x) + x + (-1)x = -x

0 + (-1)x = -x

(-1)x = -x

Assim, (-x)² = (-1)x(-1)x = (-1)²x². Por outro lado

-1 + (-1)² = (-1)1 + (-1)² = (-1) (1 + (-1)) = -1*0 = 0

Logo, (-1)² = 1. Portanto  (-x)² = (-1)²x² = 1x² = x².