Question

Demonstre que a seqüência: (a+b)² ,a²-b² ,(a-b)² ,com a diferente de +/-b é uma pg.

Answer 1

Queremos demostrar que a sequência

$\left(\left(a+b \right )^{2},\,a^{2}-b^{2},\,\left(a-b \right )^{2} \right )$

é uma P.G.. Para isso, basta que as razões entre dois termos consecutivos seja constante:


$\dfrac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\dfrac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{a}_{2}}\\ \\ \dfrac{a^{2}-b^{2}}{\left(a+b \right )^{2}}=\dfrac{\left(a-b \right )^{2}}{a^{2}-b^{2}}\\ \\ \dfrac{\left(a-b \right )\cdot \left(a+b \right )}{\left(a+b \right )\cdot \left(a+b \right )}=\dfrac{\left(a-b \right )\cdot \left(a-b \right )}{\left(a-b \right )\cdot \left(a+b \right )}\\ \\ \dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{a-b}{a+b} \text{\;\;\;(verdadeiro)}$


Uma vez que a igualdade acima é sempre verdadeira para $a \neq \pm b$, fica verificado que a sequência

$\left(\left(a+b \right )^{2},\,a^{2}-b^{2},\,\left(a-b \right )^{2} \right )$

é uma P.G.