Question

Demonstrar que as retas de equações 2x+3y=0, (2k+1)x+(3k-2)y+5=0 e x-2y+5=0 são concorrentes no mesmo ponto, qualquer que seja k.

Answer 1

i) Seja $P[tex] o ponto de interseção das três retas. Como as três passam pelo mesmo ponto temos que, em particular, duas delas se cruzam em [tex]P$, cujas coordenadas são $P=(x_P,y_P)$. No ponto de interseção teremos:

$\left\{\begin{array}{l}2x_P+3y_P=0\\x_P-2y_P=-5\end{array}\right.$

Resolvendo esse sistema pelo método da adição, multiplicando a segunda equação por -2, teremos:

$\left\{\begin{array}{l}2x_P+3y_P=0\\x_P-2y_P=-5\end{array}\right. \Longrightarrow \ \left\{\begin{array}{l}2x_P+3y_P=0\\-2x_P+4y_P=10\end{array}\right.\\ \\ 7y_P=10\\ \\ \boxed{y_P=\frac{10}{7}}$

Substituindo na primeira equação para encontrar o valor de $x_P$:

$2x_P=-3y_P\\ \\ x_P=-\frac32.\frac{10}{7}\\ \\ \boxed{x_P=-\frac{15}{7}}$

ii) Agora que temos as coordenadas do ponto onde as três retas se cruzam podemos usá-las na equação da terceira reta; se encontrarmos uma igualdade então a reta passará pelo ponto, caso contrário, ela não passará por ele:

$(2k+1)x_P+(3k-2)y_P+5=0\\ \\ (2k+1).\left(-\frac{15}{7}\right)+(3k-2).\frac{10}{7}+5=0\\ \\ -\frac{30k}{7}-\frac{15}{7}+\frac{30k}{7}-\frac{20}{7}+5=0\\ \\ 5-\frac{35}{7}=0\\ \\ \boxed{\boxed{5-5=0}}$

Como encontramos uma verdade, uma igualdade, independente do valor de $k$, temos que a terceira reta passa sim por $P$, logo as três retas passam pelo mesmo ponto.