Question

Definimos o ângulo entre dois planos como sendo o ângulo formado por seus vetores normais. Determine o ângulo entre os planos
$2x - y + 3z = 0 \: e \: x + y - 8z = 1$

Answer 1

O vetor normal a um plano tem suas coordenadas (x, y, z) dadas pelos coeficientes da equação geral do plano a, b e c. Desta forma, temos que os vetores normais a esses planos são:
u = (2, - 1, 3)
v = (1, 1, -8)


O produto interno entre dois vetores é dado pelo produto dos seus módulos multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles:
$u \cdot v = cos(\alpha) \cdot |u| \cdot |v| \\ \\ cos(\alpha) = \dfrac{u \cdot v}{|u| \cdot |v|}$


Sendo o módulo calculado por:
|u| = √[ux² + uy² + uz²]


Temos então:
$cos(\alpha) = \dfrac{(2, -1, 3) \cdot (1, 1, -8)}{ \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-8 ^2)} } \\ \\ cos(\alpha) = \dfrac{2-1-24}{ \sqrt{14} \cdot \sqrt{66} }\\ \\ cos(\alpha) = \dfrac{23}{ \sqrt{924}} } \\ \\ cos(\alpha}) = 0,7566 \\ \\ \alpha = 40,83\º$