Question

Define-se um ponto crítico de uma função f como um número c pertencente ao domínio de f para o qual f'(c)=0, isto é, o ponto crítico é um ponto tal que a derivada de f é nula ou não existe nele. Sobre o(s) ponto(s) críticos da função f open parentheses x close parentheses equals x cubed over 3 minus 7 over 2 x squared plus 6 x plus 5 assinale a alternativa correta

Answer 1

Com base na teoria sobre pontos críticos e derivadas, pode-se dizer que os pontos críticos da função f(x) dada são: ponto de mínimo em x=6 e ponto de máximo em x=1.

Portanto, a alternativa correta é a c.

Pontos críticos de uma função

Pontos críticos em uma função f(x) são pontos onde existe um máximo ou mínimo de uma função, e pode ser calculado a partir de sua derivada, igualando-a a zero, pois dessa forma, tem-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva vale zero.

Portanto, para a função dada, temos:

$f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+6x+5$

Derivando-a e igualando sua derivada a zero, temos:

$\frac{df}{dx}=x^2-7x+6=0\\\\x^2-7x+6=0$

Agora, para descobrir os valores de x que satisfazem a igualdade, utiliza-se a equação de Bháskara:

$x=\frac{7 \pm 5 }{2}\\\\x_1=6\\\\x_2=1$

Portanto, há dois pontos críticos para serem analisados.

x=6:

Aplicando na equação inicial:

$f(x)=\frac{6^3}{3}-\frac{7.6^2}{2}+6.6+5\\\\f(x)=72-126+36+5=-13 < 0$

Portanto, como -13 é menor que zero, há um ponto de mínimo em x=6

Analisando x=1:

$f(x)=\frac{1^3}{3}-\frac{7.1^2}{2}+6.1+5\\\\f(x)=1/3-7/2+11\\\\f(x)=7,83 > 0$

Portanto, como 7,83 é maior que zero, há um ponto de máximo em x=1

Então, a alternativa correta é a c) Possui ponto de mínimo em x=6 e ponto de máximo em x=1.

Segue a questão completa:

"Define-se um ponto crítico de uma função f como um número c pertencente ao domínio de f para o qual f'(c)=0, isto é, o ponto crítico é um ponto tal que a derivada de f é nula ou não existe nele.

Sobre o(s) ponto(s) críticos da função

$f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+6x+5$

assinale a alternativa correta.

a) Possui ponto mínimo em x=1 e ponto máximo em x=6.
b) Possui ponto mínimo em x=0 e ponto máximo em x=7.
c) Possui ponto mínimo em x=6 e ponto máximo em x=1.
d) Possui ponto mínimo em x=1.
e) Possui ponto máximo em x=7."

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