Question

Deduza a fórmula da integração por partes.

Answer 1

Da derivada do produto de duas funções, podemos obter a fórmula da integração por partes.

Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas em seu domínio.

(f(x).g(x))'=f'(x).g(x)+f(x)g'(x) (1)

Então

∫(f(x).g(x))'dx=f(x).g(x)

Substituindo (1) na integral temos:

∫[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]dx= f(x).g(x)

Utilizando a integral da soma

∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dx=f(x).g(x)

∫f(x)g'(x)dx= f(x).g(x)-∫f'(x)g(x)dx

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx

Fazendo

u=f(x) e v=g(x)

du=f'(x)dx. dv=g'(x)dx

Vamos Substituir na integral

∫u dv= u.v - ∫v du

(integral por partes)