Question

De um prisma hexagonal regular sabe-se que a apótema da base mede 3√ 3 cm, e a aresta lateral 10 cm. Calcula:
1.1) A medida da aresta da base.
1.2) A área lateral e a área total do prisma.
1.3) O volume do prisma.

Answer 1

Olá, Margarida.

1.1) Um prisma regular é um prisma cuja base é um polígono regular. Polígono regular é um polígono que possui todos os lados iguais. Como a base do prisma do exercício é hexagonal, então o hexágono da base deste prisma é um hexágono regular, ou seja, um hexágono com 6 lados iguais. Veja, no desenho que juntei em anexo, que um hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros. Portanto, o tamanho da apótema, que chamamos de a, é igual à altura de um triângulo equilátero de lado $l$, ou seja, $\frac{l\sqrt3}2$. Portanto, como a apótema da base mede 3√3 cm, temos que a aresta da base mede:

$\frac{l\cdot\sqrt3}2=\text{a}=3\sqrt3\Rightarrow \boxed{l=6\,cm}$

1.2) Como se pode ver no desenho anexo, cada face lateral do prisma é um retângulo de base igual à aresta da base hexagonal e altura igual à aresta lateral. O prisma hexagonal possui 6 faces laterais. A área lateral, portanto, é igual a 6 vezes a área da face lateral, ou seja:

$A_{lateral}=6\cdot A_{face\,lateral}=6\cdot6\cdot10=\boxed{360\,cm}$

A área total, por sua vez, é igual à soma da área lateral com as áreas das bases superior e inferior. Necessitamos, então, primeiramente, calcular a área da base, que corresponde à área de um hexágono regular. Como sabemos que um hexágono regular corresponde a 6 triângulos equiláteros, então a área do hexágono regular corresponde à área de 6 triângulos equiláteros.
A área do triângulo equilátero é dada pela seguinte expressão: $\frac{l^2\sqrt3}4$, onde $l$ é o lado do triângulo. A área do hexágono regular é, portanto:

$6\cdot\frac{l^2\sqrt3}4=\frac{3l^2\sqrt3}2$

Como o lado do hexágono regular corresponde, neste caso, à aresta da base, que sabemos ser igual a 6 cm, temos:

$A_{base}=\frac{3\cdot6^2\sqrt3}{2}=\frac{3\cdot36\sqrt3}2=54\sqrt3}\,cm^2$

A área total do prisma é, portanto, de:

$A_{total}=A_{lateral}+2\cdot A_{base}=\boxed{360+108\sqrt3\,cm^2}$

1.3) O volume do prisma é dado por:

$V=A_{base}\cdot [altura]=A_{base}\cdot [aresta\,lateral]=\\\\=54\sqrt3\cdot10=\boxed{540\sqrt3\,cm^3}$