Question

De um ponto a um observador enxerga o topo t de uma torre, conforme um angulo de 30. ao se aproximar 100 metros da torre, ele passa a ver o topo t conforme um angulo de 60. qual a altura da torre ?

Answer 1

A situação apresentada pode ser expressa por um triângulo retângulo, no qual a torre é o cateto oposto ao ângulo de 30º.
Então, vamos chamar à extremidade da torre de A, à sua base de B e ao ponto onde se encontra o observador de C.
Assim, o ângulo ACB mede 30º, o ângulo ABC mede 90º e o ângulo CAB mede 60º, pois a soma dos ângulos internos do triângulo ABC mede 180º.
Ao se aproximar 100 metro da torre, ele atinge um ponto que vamos chamar de D, que se encontra entre os vértices C e B do triângulo ABC, e surgem dois novos triângulo: CDA e ADB.
Observando inicialmente o triângulo CDA, verificamos que:
- O ângulo ACD mede 30º
- O ângulo CDA mede 120º, pois o ângulo externo ADB mede 60º, conforme o enunciado da questão.
- O lado CD mede 100 m, também conforme o enunciado da questão.
- O ângulo CAD mede 30º, pois a soma dos ângulos internos do triângulo CDA é igual a 180º.
Assim, concluímos que este triângulo CDA é isósceles, pois os dois ângulos da base são iguais: medem 30º.
Então, o lado AD também mede 100 m.

Vamos agora observar o que ocorre com o triângulo DBA, no qual AB é a altura da torre, da qual estamos querendo obter a altura:
- O ângulo ADB mede 60º
- O ângulo DBA é reto (90º) e o triângulo é, portanto, retângulo
- O ângulo DAB, então, mede 30º
Como sabemos, o cosseno de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Assim, se aplicarmos ao ângulo DAB esta função trigonométrica, teremos:
cos DAB = AB ÷ DA
cos 30º = AB ÷ 100 m
AB = cos 30º × 100 m
AB = 0,866 × 100 m
AB = 86,60 m, altura da torre