Question

De um baralho normal de 52 cartas retiram-se 3 cartas sem reposição.

=> Calcular a probabilidade das 3 cartas retiradas serem do mesmo naipe e uma delas ser o Ás.

Answer 1

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Tem-se um baralho com 52 cartas, das quais são retiradas três cartas, sem reposição.

Veja que se considerarmos que as três cartas retiradas são do mesmo naipe, é impossível haver mais de um ás no conjunto.

Isto simplesmente porque, considerando um mesmo naipe, temos

1 ás    +   12 cartas de outras numerações (não-ases).


•   Calculando o número de casos favoráveis.

     Para cartas de um mesmo naipe (13 cartas):

     •   Se o ás sair na 1ª retirada, então há

         1 possibilidade para a 1ª carta;

         12 possibilidades para a 2ª carta;

         12 – 1 = 11 possibilidades para a 3ª carta.


     •   Se o ás sair na 2ª retirada, então há

         12 possibilidades para a 1ª carta;

         1 possibilidades para a 2ª carta;

         12 – 1 = 11 possibilidades para a 3ª carta.


     •   Se o ás sair na 3ª retirada, então há

         12 possibilidades para a 1ª carta;

         12 – 1 = 11 possibilidades para a 2ª carta;

         1 possibilidade para a 3ª carta.


         Então, pelo princípio fundamental da contagem, para cartas de um mesmo naipe, o total de casos favoráveis seria:

         1 · 12 · 11  +  12 · 1 · 11  +  12 · 11 · 1

         = 3 · 12 · 11

         = 3 · 132

         = 396 maneiras

         de se retirar 3 cartas de um dado naipe, sendo que uma delas é "ás".

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Considerando os 4 naipes possíveis, o total de casos favoráveis é

= 4 · 396

= 1584 maneiras        (núm. de casos favoráveis)

de se retirar 3 cartas do baralho completo, sendo que uma delas é "ás" e as três cartas têm o mesmo naipe.

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•   Calculando o número de casos possíveis.

Considerando que as cartas são retiradas uma após a outra, temos

      52 possibilidades para a 1ª carta;

      52 – 1 = 51 possibilidades para a 2ª carta;

      51 – 1 = 50 possibilidades para a 3ª carta.


Novamente, pelo PFC, o total de casos possíveis é

= 52 · 51 · 50

= 132600 maneiras            (núm. de casos possíveis)

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•   Calculando a probabilidade:

A probabilidade procurada é dada por

$\mathsf{p=\dfrac{\textsf{n\'um. de casos favor\'aveis}}{\textsf{n\'um. de casos poss\'iveis}}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{1\,584}{132\,600}}\begin{array}{c}^{\mathsf{\div 24}}\\^{\mathsf{\div 24}} \end{array}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{66}{5\,525}}\\\\\\ \mathsf{p\approx 0,\!0119}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{p\approx 1,\!19\%}\end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta}$

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Poderíamos ser mais econômicos e condensar os cálculos correspondentes ao raciocínio acima, de modo que a probabilidade seria diretamente dada por

$\mathsf{p=\dfrac{4\cdot 3\cdot A_{12,\,2}}{A_{52,\,3}}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{4\cdot 3\cdot (12\cdot 11)}{52\cdot 51\cdot 50}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 4\cdot \diagdown\!\!\!\! 3\cdot (3\cdot \diagup\!\!\!\!\diagup\!\!\!\!\! 2\cdot 2)\cdot 11}{(\diagup\!\!\!\! 4\cdot 13)\cdot (\diagdown\!\!\!\! 3\cdot 17)\cdot (\diagup\!\!\!\!\diagup\!\!\!\!\! 2\cdot 25)}}$

$\mathsf{p=\dfrac{3\cdot 2\cdot 11}{13\cdot 17\cdot 25}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{66}{5\,525}}\\\\\\ \mathsf{p\approx 0,\!0119}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{p\approx 1,\!19\%} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{novamente, esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   retiradas sucessivas carta baralho probabilidade princípio fundamental da contagem arranjo análise combinatória

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

=> Casos possíveis

• Há 52 possibilidades para a primeira carta.

• Como não há reposição, teremos 51 possibilidades para a segunda carta e 50 para terceira.

São 52 x 51 x 50 = 132600 casos possíveis.

=> Casos favoráveis

• Há 4 possibilidades para o naipe das 3 cartas retiradas.

• Há 3 possibilidades para a posição do às retirado.

• E temos 12 x 11 possibilidades para as outras duas cartas retiradas.

São 4 x 3 x 12 x 11 = 1584 casos favoráveis.

A probabilidade procurada é:

$\sf P=\dfrac{1584}{132600}$

$\sf P=\dfrac{66}{5525}$

$\sf P=0,01194$

$\sf \red{P=1,194\%}$