Considere a sucessão ( Un ) de termo geral Un=1-2n/n+3
8.1 Estude a sucessão ( Un ) quanto à monotonia.
82. Verifique se a sucessão ( Un) é limitada.
Soluções para a tarefa
(1 - 2n)/(n+3)
1/(n+3) - 2n/(n+3) | 1/(n+3) é limitado por 1, pois n+3 é sempre maior
que 1, e um numero sobre outro que é maior que ele, é sempre menor que 1
Agora nos resta provar que -2n/(n+3) também o é.
porém -2n = -n -n, então -2n/(n+3) = -n/(n+3) -n/(n+3) , mas n < n+3 (óbviamente)
então n/n+3 é empre menor que 1 , logo -n/(n+3) é sempre maior que - 1, porém também é menor que 0.
-1<-n/(n+3)≤0 então, multiplicando por 2 a inequação, temos : -2<-2n/(n+3)≤0
Logo a sucessão é limitada.
considere agora (1-2n)/(n+3) e (1-2(n+1))/((n+1)+3)= (-2n-1)/(n+4), vamos provar que nosso segundo termo Un+1 é menor que Un, provamos assim, que ela é monótona.
Faça Un+1 - Un, e verifique que isso da menor que 0,
Un+1 - Un < 0
Un+1 < Un, logo ela é decrescente, é difícil no computador, porque dá muito grande, mas é fácil;
A monotonia de uma sucessão quer dizer se ela é constante, crescente, decrescente ou alternada. Então para estudar este problema, basta substituir dois valores sucessivos de n e verificar se os valores aumentam ou diminuem. Para n = 1, temos:
U1 = (1 - 2.1)/(1 + 3)
U1 = -1/4
Para n = 2, temos:
U2 = (1 - 2.2)/(2 + 3)
U2 = -3/5
Como -3/5 < -1/4, temos que enquanto n cresce, os valores de un diminuem, logo, a sucessão é decrescente.
Podemos escrever a sucessão da seguinte forma:
Un = 1/(n + 3) - n/(n + 3) - n/(n+3)
Note que n+3 será sempre maior que 1 e n, logo, cada um dos termos acima é menor que 1 ou -1, alem disso, temos que 1 - 2n é sempre menor que zero, então, juntando essas informações, temos a seguinte inequação:
-1 ≤ -n/(n + 3) ≤ 0
-2 ≤ -2n/(n + 3) ≤ 0
A sucessão é limitada por -2 e 0.
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