Question

De quantos anos seria, aproximadamente, o periodo de um planeta, girando em torno do Sol, se sua distancia ao centro de gravitaçao fosse de 8 vezes a distancia da Terra-Sol?

Answer 1

Pela terceira lei de Kepler, a razão do período ao quadrado (T²) pela distância ao cubo (R³) é igual a uma constante (K). 

Então para a Terra temos: 

T²/D³ = K 
1 ano ² / 1 uma vez a distância Terra-Sol ³ = 1 

Para o outro planeta T²/D³ = 1 também, logo: 

T² / 8 vezes a distância Terra-Sol ³ = 1 
T² = 1 x 8³ 
T² = 512 
T = √512 
T = 22,62 anos

Answer 2

O período desse planeta é de aproximadamente 22,56 anos terrestres.

Olá! Para responder a essa questão vamos relembrar a terceira lei de Kepler, que é conhecida como lei dos períodos.

Essa lei nos diz que o quadrado do período de revolução de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita.

A constante de proporcionalidade nesse caso é sempre a mesma para corpos que fazem parte de um mesmo sistema. Assim, podemos representá-la da seguinte forma:

$\frac{T^{2} }{R^{3} } =K_{p}$

Assim, para dois planetas que façam parte de um mesmo sistema solar, temos:

$\frac{T^{2}_{1} }{R^3_{1}} =\frac{T^{2}_{2} }{R^3_{2}}$

Considerando que o planeta 1 será a Terra e o planeta 2 o que é mencionado no enunciado temos:

$R_{2}=8R_{1}$

$T_{1}=1 ano$

Assim, concluímos que:

$\frac{1}{R^3_{1}} =\frac{T^2_{2}}{(8R_{1})^3}$

$T^2_{2}=8^3\\ T=\sqrt{512} \\ T=16\sqrt{2}$

e considerando que $\sqrt{2}=1,41$, temos que:

$T=16 . 1,41 = 22,56$

Assim, o período aproximado desse planeta é de 22,56 anos terrestres.

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