Matemática, perguntado por neziovhdjd, 1 ano atrás

De quantas maneiras o número 100 pode ser escrito como 2x + y + z, onde x, y e z são números inteiros não negativos?

raphaelduartesz: Não seria apenas x + y + z não? tem esse 2x mesmo?

neziovhdjd: Tem o 2x mesmo, mas qual seria a sua resolução sem o 2?

raphaelduartesz: Eu resolveria x + y + z = 100 , nunca vi nenhuma questão com coeficiente diferente de 1, como no "2x"

raphaelduartesz: já eu posto

neziovhdjd: o gabarito para a questão com 2x é 2601, não consegui fazer

vailuquinha: 2x+y+z = 100

É evidente que 2x será um número par, logo (y+z) também deverá ser par. Nesse caso, pode-se fragmentar o problema em dois:
- y e z pares;
- y e z impares.

Mudanças de variáveis:
Para o primeiro caso: y = 2y' e z = 2z'. Logo:
2x+2y'+2z' = 100
x+y'+z' = 50 (1)

Para o segundo caso: y = (2y'+1) e z = (2z'+1). Logo:
2x+(2y'+1)+(2z'+1) = 100
2x+2y'+2z' = 98
x+y'+z' = 49 (2)

Fórmula: C{n+k-1}{k} (método das barras/sinais)
Portanto:
C{50+3-1}{50} + C{49+3-1}{49}
= 52!/(50!*2!) + 51!/(49!*2!)
= 2601

raphaelduartesz: Parabéns, muito obrigado

vailuquinha: Disponha! =)

neziovhdjd: Cara, muito obrigado mesmo.

vailuquinha: Por nada!!

Soluções para a tarefa

Respondido por raphaelduartesz

Temos:

x + y + z = 100

Tem um padrão para resolver esse problema para o caso em que as soluções são números inteiros não negativos, isto é, o zero pode entrar como valor para uma ou duas incógnitas.

100 = resultado da equação, é como se tivéssemos 100 objetos idênticos.

2 = quantidade de sinais de "+" que, logicamente, são idênticos.

102 = total de elementos

Vamos permutar 102 elementos com repetição de 100 objetos e repetição de dois sinais de "+"

Fica:

P₁₀₂¹⁰⁰ ² = 102!/(100!2!)

Agora é só conta:

102!/(100!2!) = 102*101*100!/(100!2!) = 102*101/2! = 102*101/2 = 51*101 =

= 5151 maneiras

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