Question

De quantas maneiras distintas as bolas de tênis de mesa representadas a seguir podem ser distribuídas em 5 gavetas de um armário, sabendo que cada gaveta comporta até 20 bolas?​

Answer 1

Resposta:

P16 (12,4)=16!/12! 4!

P=16.15.14.13.12!/12!.4.3.2.1

P= 1820 maneiras distintas

Answer 2

Podemos concluir que existem 1820 maneiras diferentes de distribuir as 20 bolas em 5 gavetas de acordo com a analise combinatória feita.

Analise Combinatória

A analise combinatória é o estudo matemático de permutações e combinações de conjuntos finitos de objetos. A combinatória geralmente se preocupa com a forma como as coisas são organizadas. Nesse contexto, um arranjo é uma maneira de agrupar objetos.

Neste problema precisamos calcular quantos arranjos são possíveis para representar a distribuição das 20 bolas em 5 gavetas.

• Primeiro precisamos estabelecer quantas bolas cabem em cada gaveta, podemos pensar então, que de maneira que se tenha a mesma quantidade de bolas em cada gaveta, bastando então dividir 20 por 5, temos 4 bolas por gaveta.

Combinação Simples:

A Combinação Simples é um tipo de agrupamento da análise combinatória que calcula quantos subconjunto de “p” elementos podemos formar partindo de um conjunto inicial com “n” elementos. A combinação simples é dada pela fórmula:

                                             $C_p^n = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Onde,

• $n$ - quantidade de elementos do conjunto
• $p$ - quantidade de elementos por arranjo

1. Temos que podemos ter 4 formas  distintas a partir de um conjunto com 20 bolas e 5 gavetas, logo teremos 16 elementos (20 - 4)  de elementos do conjunto ou seja $n = 16$;
2. Para sabermos a quantidade de elementos por arranjo basta pegar o número de elementos e subtrair pela quantidade de números por gaveta, 16 - 4 = 12, logo $p = 12$

Substituindo na fórmula temos:

                                          $C_{12}^{16} = \frac{16!}{12!(16-12)!}\\C_{12}^{16} = \frac{16!}{12!4!}\\C_{12}^{16} = \frac{16.15.14.13.12!}{12!24}\\C_{12}^{16} = \frac{16.15.14.13}{24}\\C_{12}^{16} = \frac{43680}{24}\\C_{12}^{16} = 1820$

Ou seja, temos 1820 maneiras diferentes de distribuir as 20 bolas em 5 gavetas de acordo com a analise combinatória feita.

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