Question

Dê o domínio de f(x, y) = arc sen [(2x - y)/(x + y).

Answer 1

$f(x,\;y)=\mathrm{arcsen}\left(\dfrac{2x-y}{x+y} \right )$


Encontrar o domínio de $f:$

$\mathbf{1.~~~}$ O argumento da função arco-seno deve estar entre $-1$ e $1:$

$-1\leq \dfrac{2x-y}{x+y}\leq 1$


Multiplicando todos os membros por $(x+y)^{2}>0,$ o sentido da desigualdade se mantém, e obtemos

$-(x+y)^{2}\leq (2x-y)(x+y)\leq (x+y)^{2}\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{lc} -(x+y)^{2}\leq (2x-y)(x+y)&~~~~\mathbf{(i)}\\ \\ (2x-y)(x+y)\leq (x+y)^{2}&~~~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Da inequação $\mathbf(i),$ temos que

$-(x+y)^{2}\leq (2x-y)(x+y)\\ \\ (2x-y)(x+y)+(x+y)^{2}\geq 0\\ \\ (x+y)\cdot \left[(2x-y)+(x+y) \right ]\geq 0\\ \\ (x+y)\cdot \left[3x \right ]\geq 0\\ \\ (x+y)\cdot 3x\geq 0\\ \\ (x+y)\cdot x\geq 0~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Da inequação $\mathbf{(ii)},$ temos que

$(2x-y)(x+y)\leq (x+y)^{2}\\ \\ (x+y)\cdot [(2x-y)-(x+y)]\leq 0\\ \\ (x+y)\cdot (x-2y)\leq 0~~~~~~\mathbf{(iv)}$


$\mathbf{2.~~~}$ Os denominadores não podem ser zero:

$x+y\neq 0\\ \\ x\neq -y~~~~~~\mathbf{(v)}$


De $\mathbf{(iii)},$ $\mathbf{(iv)}$ e $\mathbf{(v)},$ temos que o domínio de $f$ é o conjunto

$D_{f}=\left\{(x,\;y)\in\mathbb{R}^{2}\left|\,(x+y)\cdot x\geq 0~\text{ e }~(x+y)\cdot (x-2y)\leq 0~\text{ e }~x\neq -y\right. \right \}$