Question

de o conjunto soluçao das equações

a) 2sen²x+6 cos x-cos2x=5 [0,pi]

b) sen (pi+x) + cos (pi/2+x)=raiz de 2

Answer 1

Antes de calcular a letra A você tem que saber que:

$sen^2x+cos^2x=1\\ sen^2x=1-cos^2x\\ cos^2x=1-sen^2x\\ \\ \\ sen(2x)=2senx*cosx\\ cos(2x)=cos^2x-sen^2x$

Agora é só resolver.

$2sen^2x+6cosx-cos2x=5$

Agora é só substituir aquele sen²x e passa o -cosx para o outro lado.

$2(1-cos^2x)+6cosx=5+cos2x$

Fazendo a distributiva e substituindo aquele cos2x:

$2-2cos^2x+6cosx=5+cos^2x-sen^2x$

Substituindo o sen²x e passando o 2 para o outro lado.

$-2cos^2x+6cosx=-2+5+cos^2x-(1-cos^2x)$

Agora é só terminar:

$-2cos^2x+6cosx=3+cos^2x-1+cos^2x\\ -2cos^2x+6cosx=2+2cos^2x\\ -2cos^2x-2cos^2x+6cosx-2=0\\ -4cos^2x+6cosx-2=0\quad (-1)\\ 4cos^2x-6cosx+2=0\quad (:2)$

$2cos^2x-3cosx+1=0$

Fazendo a substituição de variável:

$cosx=y$

$2y^2-3y+1=0$

Agora é só resolver as equações e achar as raízes:

$b^2-4ac\\ \\ (-3)^2-4*2*1\\ 9-8\\ 1$

$\frac { 3+1 }{ 4 } \rightarrow \frac { 4 }{ 4 } \longrightarrow 1\\ \\ \frac { 3-1 }{ 4 } \rightarrow \frac { 2 }{ 4 } \longrightarrow \frac { 1 }{ 2 }$

$cosx=1\quad ou\quad \frac { 1 }{ 2 }$

Ele mencionou no início que está entre [0,pi]

pi=180°

Então temos como solução.

$S=\{ 0,60,120\}$





B)

$sen(180+x)+cos(90+x)=\sqrt { 2 } \\ \\ sen(180+x)=sen180*cosx+senx*cos180\\ sen(180+x)=0*cosx+senx*(-1)\\ sen(180+x)=-senx\\ \\ cos(90+x)=cos90*cosx-sen90*senx\\ cos(90+x)=0*cosx-1*senx\\ cos(90+x)=-senx\\ \\ -senx-senx=\sqrt { 2 } \\ -2senx=\sqrt { 2 } \\ senx=-\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }$

O senx=45°

E como ele é negativo teremos como solução.

S={225,315}