Question

De acordo com o circuito calcule Q1(t) e Q2(t). (Use V=1V, R1=R2=1Ω, C1=C2=C=1F)

Answer 1

Q₁(t) = 2 - 2.e^(- t/2)); Q₂(t) = 2 - 2.e^(- t/2)).

Explicação:

Há uma diferença de potencial nas extremidades do resistor e também nas extremidades do capacitor. Isto deve-se a queda de tensão gerada por cada um destes dispositivos. Sabe-se que, segundo a lei das malhas de Kirchoff, que a soma das diferenças de potencial para qualquer circuito fechado é nula. Se o circuito for de duas malhas ou mais a soma também é nula, pois cada ramificação em particular é fechada. Isto equivale a dizer que a soma das intensidades das tensões positivas é igual a soma das intensidades das tensões negativas. Matematicamente, podemos escrever:

U1 – U2 – U3 = 0                  (1.a).

No circuito, U1 é a tensão da bateria.

A 1ª lei de Ohm diz:

U = i.R                                 (2)

Então podemos escrever, para o resistor:

U2 = i.R                                 (3)

E para o capacitor (são dois capacitores para cada malha):

U3 = q/2.C                               (4)

Inserindo as duas últimas equações na primeira, obtemos:

U1 – i.R – q/2.C = 0                   (1.b)

Sabemos que a corrente elétrica no circuito é dada por:

i = dq/dt                                 (5).

Desta forma, podemos reescrever a equação (5) como se segue:

U1 - (dq/dt)R - q/2.C = 0                 (1.c)

U1 é a força eletromotriz no circuito, que podemos chamar ε. Desta forma, teremos:

ε - (dq/dt)R - q/2.C = 0                     (1.d)

Neste caso, temos uma pequena dificuldade em resolver a equação, pois temos um termo derivado em relação ao tempo enquanto que o outro termo aparece em sua forma normal. Para solucionar isto separamos os termos dq/dt e q/c. Assim, teremos como resolver aplicando a função logarítmica, como se segue:

ε - (dq/dt)R = q/2.C

- dq/(q - 2.ε.C) = dt/2.R.C

Temos então uma equação diferencial, que podemos resolver integrando nos elementos dq e dt.

q = 2.ε.C(1 - e^(- t/2.R.C))                   (6).

Podemos calcular então a carga total em função do tempo, relativo a malha 1 e a malha 2. Substituindo os termos na equação (6), teremos:

Q₁(t) = 2.(1 V)(1 F)(1 - e^(- t/2(1 Ω)(1 F)))

Q₁(t) = 2 - 2.e^(- t/2)).

Como o circuito é similar e possui as mesmas componentes tanto na malha 1 quanto na malha 2, é correto afirmar então que, Q₁(t) = Q₂(t), portanto:

Q₂(t) = 2 - 2.e^(- t/2)).