Question

De acordo com (Lima, 2009), “Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um subconjunto D do R^2, um único número real denotado por f (x, y). O conjunto D é o domínio de f e a sua imagem é o conjunto dos valores possíveis de f (x, y), ou seja, {f(x,y):(x,y) E D}. Essas definições se estendem de maneira natural para uma função de mais de duas variáveis”.

Considerando que tais funções mencionadas no texto acima, ou seja, funções de mais de uma variável ocorrem frequentemente em situações práticas. Exemplifique pelo menos uma situação prática em que esse tipo de função possui aplicação.

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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1. Quando modelamos a condução de calor em uma barra unidimensional de comprimento L, a temperatura T(x,t) da barra será uma função de duas variáveis. Fixe uma das extremidades da barra como sendo a origem de um sistema de coordenadas e alinhe a barra paralelamente ao eixo x. A coordenada $x\in[0,L]$ denotará um ponto da barra. A temperatura, em geral, dependerá da coordenada x e do tempo t.
2. Considere o conjunto $D\subset \mathbb{R}^2$ do enunciado. Podemos estudar a dinâmica de cargas elétricas distribuídas sobre essa região. Em cada ponto $(x,y)\in D$, podemos considerar a função densidade de carga elétrica $\rho(x,y)$ que dependerá de duas variáveis se a distribuição for eletrostática e, se for uma problema eletrodinâmico (mais geral), ela dependerá de três variáveis $\rho(x,y,t)$, onde incluímos o tempo.
3. Generalizando o exemplo 2, podemos considerar, definida em $D$, qualquer tipo de função densidade: de massa (fundamental em Mecânica Clássica), energia (fundamental na Mecânica Estatística e na Teoria da Relatividade Geral), probabilidade (fundamental na Mecânica Quântica), etc.
4. Considere que $D$ seja uma região com fronteira e que, presa a essa fronteira, está uma membrana elástica. A amplitude vertical de vibração dessa membrana dependerá dos pontos de $D$ e, portanto, será uma função de duas variáveis.

Você pode construir vários outros exemplos. As funções de várias variáveis aparecem em todo lugar quando se tenta modelar um fenômeno mais geral. A chave para descrever tais fenômenos é estudar as equações diferenciais que envolvem tais funções. Muitas dessas equações são extremamente difíceis de resolver, dado o grau de generalidade. E, muitas outras, não se sabe nem se é possível resolver para o caso geral. Na minha opinião, um dos exemplos mais interessantes são as equações de Navier-Stokes, que descrevem a dinâmica de um fluido e relacionam a Pressão, Densidade e Velocidade do fluido (todas funções de 4 variáveis: 3 espaciais e 1 temporal). Provar, para o caso geral, a existência e regularidade das soluções das equações de Navier-Stokes ainda é um problema em aberto e faz parte da lista dos 7 Problemas do Milênio. Um prêmio de um milhão de dólares é oferecido a quem resolver (talvez esta seja a maneira mais difícil de tentar ganhar um milhão de dólares :D).

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

As propriedades matemáticas e o estudo da Matemática, tem várias aplicabilidades cotidianas e técnicas. As funções vetoriais citadas na questão exemplificam bem isso, pois podem ser aplicadas na resolução de problemas de ordem técnica. Por exemplo, na área da mecânica, no estudo da mecânica dos corpos rígidos, é utilizada para saber a posição de um corpo que faz uma trajetória a partir das variáveis x e y. Como também para saber a trajetória de um corpo em queda livre, dentre outros exemplos. Já na Astronomia, essas funções são utilizadas para estimar a posição de estrelas partindo da sua posição vista no céu utilizando telescópios. Muitas são as áreas que utilizam das de funções vetoriais para fazer seus estudos. Um exemplo prático seria o cálculo do Índice de Massa Corpórea (IMC), que é feito em função de duas variáveis (peso e altura):  F(x,y)=  y/x^2   Onde, y representa o peso e x a altura.