Question

De acordo com a sequência numérica a seguir, caso o padrão de formação prossiga, calcule o sétimo termo
1,2,3,5,16,231...

A) 5.321
B) 321
C)516
D)53.361
E)53.105

Answer 1

Olá.

Para resolução dessa questão, tive de usar diversos testes para encontrar uma lei de formação, que apresento abaixo:

$\mathsf{a_n=(a_{n-1})^2-(a_{n-2})^2~|~n\geq3}$

Os quatro primeiros termos dessa sequência se assemelham muito com alguns dos primeiros da Sequência de Fibonacci. 

Existem mais semelhanças do que apenas alguns termos se assemelharem:

- Essa sequência e a sequência de Fibonacci são recursivas, ou seja, necessitam de termos anteriores.

- Assim como na sequência de Fibonacci, dois termos foram colocados apenas para iniciar a sequência. No caso de Fibonacci, foi 0, 1, 1. No caso da sequência do enunciado, foi 1, 2.

Os valores dados na sequência pelo enunciado foram:

$\begin{cases}\mathsf{a_1=1}\\\mathsf{a_2=2}\\\mathsf{a_3=3}\\\mathsf{a_4=5}\\\mathsf{a_5=16}\\\mathsf{a_6=231}\\\mathsf{a_7=?}\end{cases}$

Usando valores que sejam iguais ou maiores que 3, vamos testar se a lei de formação que apresentei é válida. Vamos aos cálculos.

Para n = 3:

$\mathsf{a_n=(a_{n-1})^2-(a_{n-2})^2}\\\\\mathsf{a_3=(a_{3-1})^2-(a_{3-2})^2}\\\\\mathsf{3=(a_{2})^2-(a_{1})^2}\\\\\mathsf{3=(2)^2-(1)^2}\\\\\mathsf{3=4-1}\\\\\mathsf{3=3~\checkmark}$

Para n = 4:

$\mathsf{a_n=(a_{n-1})^2-(a_{n-2})^2}\\\\\mathsf{a_4=(a_{4-1})^2-(a_{4-2})^2}\\\\\mathsf{5=(a_{3})^2-(a_{2})^2}\\\\\mathsf{5=(3)^2-(2)^2}\\\\\mathsf{5=9-4}\\\\\mathsf{5=5~\checkmark}$

Para n = 5:

$\mathsf{a_n=(a_{n-1})^2-(a_{n-2})^2}\\\\\mathsf{a_5=(a_{5-1})^2-(a_{5-2})^2}\\\\\mathsf{16=(a_{4})^2-(a_{3})^2}\\\\\mathsf{16=(5)^2-(3)^2}\\\\\mathsf{16=25-9}\\\\\mathsf{16=16~\checkmark}$

Para n = 6:

$\mathsf{a_n=(a_{n-1})^2-(a_{n-2})^2}\\\\\mathsf{a_6=(a_{6-1})^2-(a_{6-2})^2}\\\\\mathsf{231=(a_{5})^2-(a_{4})^2}\\\\\mathsf{231=(16)^2-(5)^2}\\\\\mathsf{231=256-25}\\\\\mathsf{231=231~\checkmark}$

Como funcionou em todos os casos, assumindo como verdade, vamos buscar n = 7. Teremos:

$\mathsf{a_n=(a_{n-1})^2-(a_{n-2})^2}\\\\\mathsf{a_7=(a_{7-1})^2-(a_{7-2})^2}\\\\\mathsf{a_7=(a_{6})^2-(a_{5})^2}\\\\\mathsf{a_7=(231)^2-(16)^2}\\\\\mathsf{a_7=53.361-256}\\\\\boxed{\mathsf{a_7=53.105}}$

Podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa E.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

A lógica da sequência é: o quadrado do segundo termo menos o quadrado do primeiro será igual ao termo seguinte.

2^2 - 1^2 = 3

3^2 -2^2= 5

5^2- 3^2 =16

16^2 - 5^2= 231

231^2 - 16^2 = 53.105