Question

Dê a posição do ponto E(-1,-4) em relação a circunferência x²+y²-6x+8y=0

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a posição do ponto E(-1; -4) em relação à circunferência de equação:

x² + y² - 6x + 8y = 0 ----- vamos ordenar, para formarmos os quadrados:
x²-6x + y²+8y = 0 ---- agora formaremos os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que serão acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim:

(x-3)² - 9 + (y+4)² - 16 = 0 ----- ordenando, teremos;
(x-3)² + (y+4)² - 9 - 16 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
(x-3)² + (y+4)² - 25 = 0 ---- passando "25" para o 2º membro, teremos:
(x-3)² + (y+4)² = 25 ----- note que 25 = 5². Assim:
(x-3)² + (y+4)² = 5²       . (I)

Agora note isto: quando temos uma circunferência de centro em C(xo; yo) e raio = r, a sua equação reduzida é dada da seguinte forma:

(x-xo)² + (y-yo)² = r²    . (II)

Agora compare as expressões (I) e (II). Dessa comparação você já deverá ter concluído que o centro da circunferência da sua questão é: C(3; -4) e o raio é "5", ou seja: a circunferência da sua questão tem:

Centro: C(3; -4)
r = 5 .

Agora vamos examinar qual é a posição relativa do ponto E(-1; -4).
Para fazer isso, encontraremos a distância do centro C(3; -4) ao ponto E(-1; -4) e veremos essa distância em relação ao raio da circunferência (que, como vimos tem 5 unidades de raio).
Vamos, portanto encontrar essa distância (d) do centro C(3; -4) ao ponto E(-1; -4). Assim:

d² = (3-(-1))² + (-4-(-4))²
d² = (3+1)² + (-4+4)²
d² = (4)² + (0)²
d² = 16 + 0
d² = 16
d = +- √(16) ----- como √(16) = 4, teremos;
d = +- 4 ----- Mas como uma distância não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 4 unidades  <--- Esta é a distância do centro C(3;-4) a E(-1; -4).

Como essa distância é menor que o raio, conclui-se que o ponto dado é interior à circunferência. <---- Esta é a resposta.

A propósito, note que teríamos as seguintes hipóteses quando se considera a distância (d) de um ponto (x; y) ao centro de uma circunferência C(xo; yo) e raio = r

i) O ponto será interior à circunferência, se d < r.
ii) O ponto estará sobre a circunferência, se d = r.
iii) O ponto será exterior à circunferência, se d > r.

Note que, no caso da sua questão, encontramos que a distância (4) é menor que o raio (5) da circunferência. Logo, foi por isso que concluímos que o ponto é interior à circunferência.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.