Question

dc / dp = α(β – c)

a) Qual é a classificação da equação diferencial ordinária apresentada? Classifique-a em relação ao tipo, à ordem e à linearidade.
b) Qual é a solução da equação diferencial apresentada? Apresente com detalhes o processo de resolução, evidenciando a estratégia utilizada nesse processo, adotando e como constantes reais.
c) Considerando que (0)= e que <, como vocês descreveriam o perfil da solução para a equação diferencial encontrado no item B, considerando as variações de potência recebida e custo-benefício? Justifique sua resposta.
d) Que interpretação vocês dariam para a relação do custo-benefício em função da potência gerada, com base no contexto e na solução obtida no item B? Justifique sua resposta.

Answer 1

Analisando por meio de metodos de soluções de equações diferenciais ordinarias, podemos facilmente resolver esta questão.

Então temos a seguinte EDO:

$\frac{dc}{dp}=\alpha(\beta-c)$

Então vamos as questões:

a) Qual é a classificação da equação diferencial ordinária apresentada? Classifique-a em relação ao tipo, à ordem e à linearidade.

Esta é uma equação diferencial ordinaria linear de primeira ordem (só possui uma ordem de derivada e é de resolução linear) do tipo separavel (pode ser resolvida por separação de variaveis).

b) Qual é a solução da equação diferencial apresentada? Apresente com detalhes o processo de resolução, evidenciando a estratégia utilizada nesse processo, adotando e como constantes reais.

Para resolver, basta separarmos as variaveis:

$\frac{dc}{dp}=\alpha(\beta-c)$

$\frac{dc}{\beta-c}=\alpha.dp$

Agora basta integrarmos os dois lados, o esquerdo em c e o direito em p:

$-Ln(\beta-c)=\alpha.p+K$

Onde K é uma constante de integração. Assim podemos elevar os dois lados em potencia de "e":

$-Ln(\beta-c)=\alpha.p+K$

$Ln(\beta-c)=-\alpha.p-K$

$e^{Ln(\beta-c)}=e^{-\alpha.p-K}$

$\beta-c=e^{-\alpha.p-K}$

$\beta-c=e^{-\alpha.p}.e^{-K}$

Como exponencial de constante também é uma constante qualquer, então:

$\beta-c=e^{-\alpha.p}.e^{-K}$

$\beta-c=e^{-\alpha.p}.K$

$\beta-c=K.e^{-\alpha.p}$

$c=\beta-K.e^{-\alpha.p}$

E esta é a nossa solução geral.

$c=\beta-K.e^{-\alpha.p}$

c) Considerando que (0)= e que <, como vocês descreveriam o perfil da solução para a equação diferencial encontrado no item B, considerando as variações de potência recebida e custo-benefício? Justifique sua resposta.

Você não copiou corretamente esta pergunta, porém podemos ver pela solução geral que este custo depende exponencialmente de p.

d) Que interpretação vocês dariam para a relação do custo-benefício em função da potência gerada, com base no contexto e na solução obtida no item B? Justifique sua resposta.

Temos que pela solução, quanto maior a potencia, mais o custo, porém chega um momento que o custo se aproxima de um valor fixo Beta, pois exponencial negativa tende a 0 com o aumento de p.