Question

Dados três pontos: A (– 2 , 2 ) , B (2 ,5 ) e C (6 ,2 )
calcule a área do triângulo
ABC;
perímetro do triângulo
ABC

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Dado um triângulo qualquer de

vértices A(xa,ya),B(xb,yb), C(xc,yc). A área deste de triângulo pode ser determinada por via da metade do módulo da matriz com as as coordenadas de seus vértices.

A estrutura do DETERMINANTE que teremos que calcular é:

$\large\begin{bmatrix}xa&ya&1 \\ xb&yb&1 \\ xc&yc&1\end{bmatrix}$

Note que o DETERMINANTE é o mesmo que usamos para ver se os pontos estão alinhados, ou seja, caso o valor do determinante seja "0", quer dizer que os vértices não formam um triângulo.

Note também que temos elementos Xa, Ya.. que simbolizam o valor das abscissas e ordenadas dos pontos A, B e C.

Sabendo que uma coordenada é expressa dessa forma:

C(abscissa, ordenada)

Abscissa → Valor de "x"

Ordenada → Valor de "y"

Seguindo esse princípio, vamos encontrar os valores de A, B e C.

$A ( - 2 , 2 ) \rightarrow xa = - 2 \: \: \: \: ya = 2\\ B (2 ,5 ) \rightarrow xb = 2 \: \: \: \: yb = 5 \\ C (6 ,2 ) \rightarrow xc = 6 \: \: \: yc = 2$

Agora vamos substituir esses valores no DETERMINANTE e resolver através do método de sua preferência (usarei Sarrus), para encontramos a área.

$\begin{bmatrix} -2 &2&1 \\ 2&5&1 \\ 6&2&1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} - 2&2 \\ 2&5 \\ 6&2 \end{bmatrix} \\ \\ \scriptsize{ D = Diagonal \: P - Diagonal \: S } \\ \scriptsize{ D = - 2.5.1 + 2.1.6 + 1.2.2 - (6.5.1 + 2.1. ( - 2) + 1.2.2)) } \\ \scriptsize{ D = - 10 + 12 + 4 - (20 - 4 + 4)} \\ \scriptsize{D = 6 - (20)} \\ \boxed{\scriptsize{ D = - 14 }}$

Para finalizar o cálculo da área, vamos substituir na fórmula:

$\large \boxed{A = \frac{ |D| }{2} } \\ \\ A = \frac{ | - 14| }{2} \\ \\ A = \frac{14}{2} \\ \\ \boxed{A = 7 \: u.a} \leftarrow resposta$

Finalizamos o cálculo da área, agora vamos para o cálculo do perímetro.

Para o cálculo do PERÍMETRO vamos ter que calcular a distância entre dos pontos AB, BC e AC.

Tal cálculo possui uma fórmula, que é dada por:

$\begin{cases} d \: (ab)= \sqrt{(xb - xa) {}^{2} +(yb - ya) {}^{2} } \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{(xc - xb) {}^{2} + (yc - yb) {}^{2} } \\ \\ d \: (ac) = \sqrt{(xc - xa) {}^{2} + (yc - ya) {}^{2} } \end{cases}$

Note que também temos os elementos Xa, ya, xb... já identificamos os valores no início da questão.

I) Distância AB:

$d \: (ab) = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (yb - ya) {}^{2} } \\ d \: (ab) = \sqrt{(2 - ( - 2)) {}^{2} +(5 - 2) {}^{2} } \\ d \: (ab) = \sqrt{(2 + 2) {}^{2} + (3) {}^{2} } \\ d \: (ab) = \sqrt{(4) {}^{2} + (3) {}^{2} } \\ d \: (ab) = \sqrt{16 + 9} \\ d \: (ab) = \sqrt{25} \\ \boxed {d \: (ab) = 5 \: u.c}$

II) Distância BC:

$d \: (bc) = \sqrt{(xc- xb) {}^{2} + (yc - yb) {}^{2} } \\ d \: (bc) = \sqrt{(6 - 2) {}^{2} + (2 - 5) {}^{2} } \\ d \: (bc) = \sqrt{(4) {}^{2} + ( - 3) {}^{2} } \\ d \: (bc) = \sqrt{16 + 9} \\ d \: (bc) = \sqrt{25} \\ \boxed{d \: (bc) = 5 \: u.c}$

III) Distância AC:

$d \: (ac) = \sqrt{(xc - xa) {}^{2} + (yc - ya) {}^{2} } \\ d \: (ac) = \sqrt{(6 - ( - 2)) {}^{2} + (2 - 2) {}^{2} } \\ d \: (ac) = \sqrt{(6 + 2) {}^{2} + (0) {}^{2} } \\ d \: (ac) = \sqrt{(8) {}^{2} + 0} \\ d \: (ac) = \sqrt{64} \\ \boxed{d \: (ac) = 8 \: u.c}$

PERÍMETRO é igual a soma de todos os lados, ou seja, vamos ter que somar as três medidas.

$Per \acute{i}metro = 5 + 5 + 8 \\ \boxed{Per \acute{i}metro = 18 \: u.c} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️