Question

Dados os vetores u e v, com u diferente de 0, prove que o vetor w = v − (v,u)/(u,u).u é perpendicular a u.

Answer 1

Seja $\langle \cdot, \cdot\rangle$ o produto interno no espaço vetorial considerado e sejam $v$ e $u \neq 0$ dois vetores. Provemos então que

$w=v-\dfrac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u$

é perpendicular a $u$.

Os vetores $w$ e $u$ são perpendiculares se e só se o produto interno entre eles for nulo, ou seja $\langle w, u\rangle = 0$. Tem-se então:

$\langle w, u\rangle = \left\langle v-\dfrac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u, u\right\rangle = \langle v, u\rangle - \dfrac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\langle u, u\rangle = \langle v, u\rangle - \langle v, u\rangle = 0,$

onde se aplicou a propriedade da linearidade do produto interno na 1.ª componente:

$\langle \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, y \rangle = \lambda_1\langle x_1, y\rangle + \lambda_2\langle x_2, y\rangle,$

com $\lambda_1$ e $\lambda_2$ escalares e $x_1$, $x_2$ e $y$ vetores.

Answer 2

Resposta:

meu deus

Explicação passo-a-passo:

n entendi