Question

. Dados os vetores u = (3, -2, 1) e v = (1, 2, -3), calcular λ pertencente ao conjunto

dos números R, de modo que o vetor u + λ v seja paralelo ao vetor w = (3, 2, -4).​

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$u = (3, - 2, 1), \: v=(1, 2, -3) \: \: e \: \: w = (3, 2, -4)$

A questão quer saber o valor de um escalar multiplicado pelo vetor "u" e o resultado somado com "v" seja um vetor que é paralelo a "w". Primeiro vamos desenvolver a expressão.

$\underline{1)Escalar \: \times \: vetor }\\ \: \: \: \: \: \boxed{ \lambda \: . \: (a, \: b, \: c) = ( a.\lambda , \: b. \lambda , \: c. \lambda)} \\ \underline{2) \: Soma \: vetorial} \: \: \: \: \\ \boxed{(a, \: b, \: c) + ( \alpha , \beta , \gamma ) = (a + \alpha, \: b + \beta, \: c + \gamma )} \\ \underline{3) \: Produto \: Vetorial} \\ \boxed{ \vec{u} \times \vec{v} =\begin{bmatrix}{i} &{j}& {k}\\ u_{x}&u_{y}&u_{z} \\ v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{bmatrix} }$

Para fazer o desenvolvimento, vamos usar essas propriedades mostradas acima:

$\sf \orange\bullet \: \: u + \lambda.v \: \: \orange\bullet \: \: \: \: \\ \\ (3, \: -2, \: 1) + \lambda \: . \: (1, \: 2, \: -3) \\ \\ (3, \: -2, \: 1) + ( \lambda, \: 2\lambda, \: - 3 \lambda ) \\ \\ (3 + \lambda, \: - 2 + 2 \lambda, \: 1 - 3 \lambda) \: \:$

Agora vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores pararelos é igual a "0", e isso é justamente o que temos, pois a questão quer que "w" seja paralelo a "u + L.v", então:

$\: \: \: (u + \lambda.v) \times w = 0 \\3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \begin{bmatrix}i&j& k\\ 3 + \lambda& - 2 + 2\lambda&1 - 3 \lambda\\3 &2& - 4\end{bmatrix} = 0 \\ \: i \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: k \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 3j - 9j \lambda + 8i - 8i \lambda + 6k + 2k \lambda + 12j + 4j \lambda + 6k - 6k \lambda - 2i + 6i \lambda = 0 \\ - 9j \lambda - 8i \lambda + 2k \lambda + 4j \lambda - 6k \lambda + 6i \lambda + 6i + 15j + 12k = 0 \\ - 5j \lambda - 2i \lambda - 4k \lambda + 6i + 15j + 12k = 0$

Normalmente não colocamos as componentes dos eixos coordenados que são i, j e k, podemos então colocar apenas o módulo do número:

$- 5 \lambda - 2 \lambda - 4 \lambda + 6 + 15 + 12 = 0 \\ - 11 \lambda + 33 = 0 \\ - 11 \lambda = - 33 \\ \boxed{\boxed{\lambda = 3}}$

Espero ter ajudado